Tensorflow2实现像素归一化与频谱归一化

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前言

归一化技术的改进是生成对抗网络(Generative Adversarial Networks, GAN)中众多改进的一种，本文介绍常用于当前GAN中的像素归一化(Pixel normalization，或称为像素规范化)和频谱归一化(Spectral normalization，或称频谱规范化)，在高清图片生成中，这两种归一化技术得到了广泛使用，最后使用Tensorflow2实现像素归一化和频谱归一化。

像素归一化

像素归一化详解

像素归一化是在ProGAN模型中提出的，ProGAN的作者放弃了批归一化，并为生成器使用了自定义归一化，即像素归一化。

在ProGAN中进行归一化的目的是限制权重值，以防止其呈指数增长。较大的权重可能会增大信号幅度，并导致生成器与鉴别器之间的恶性竞争。像素归一化将通道尺寸中每个像素位置(H, W)的特征进行归一化。如果张量是大小为(N, H, W, C)的批RGB图像，则像素归一化后任何像素的RGB矢量的大小将均为1。

像素归一化实现

在Tensorflow2中，可以使用自定义层来实现像素归一化：

from tensorflow.keras.layers import Layer
class PixelNorm(Layer):
    def __init__(self, epsilon=1e-8):
        super(PixelNorm, self).__init__()
        self.epsilon = epsilon
    
    def call(self, input_tensor):
        return input_tensor / tf.math.sqrt(tf.reduce_mean(input_tensor ** 2, axis=-1, keepdims=True) + self.epsilon)
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与其他归一化不同，像素归一化没有任何可学习的参数。它仅由简单的算术运算组成，因此计算效率很高。

频谱归一化

频谱归一化详解

为了解释频谱归一化，首先需要复习下线性代数的知识，以大致解释什么是频谱范数。

首先温故下矩阵理论中的特征值和特征向量：

Av=\lambda v

其中 $A$ 是一个方阵， $v$ 是特征向量，而 $\lambda$ 是其特征值。

我们将使用一个简单的示例来理解这些术语。假设 $v$ 是关于位置 $(x, y)$ 的向量，而 $A$ 是线性变换：

A=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix},v=\begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}

如果将 $A$ 乘以 $v$ ，我们将获得一个新的位置，其方向改变如下：

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Av=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ax + by\\ cx + dy\\ \end{pmatrix}

特征向量是将 A 应用于向量时不会改变方向的向量。取而代之的是，它们可以仅通过标量特征值 $\lambda$ 进行缩放。可以有多个特征向量—特征值对。最大特征值的平方根是矩阵的谱范数。对于非方矩阵，我们将需要使用数学算法(例如奇异值分解(singular value decomposition, SVD))来计算特征值，这在计算上可能会非常昂贵。

因此，采用幂迭代法可以加快计算速度，使其对于神经网络训练具有可行性。接下来，在TensorFlow中实现频谱归一化作为权重约束。

频谱归一化实现

频谱归一化数学算法可能看起来很复杂。但是，通常，算法实现比数学上看起来更简单。

以下是执行频谱归一化的步骤：

卷积层中的权重是一个4维张量，因此第一步是将其重塑为2D矩阵，在这里我们保留权重的最后一个维度。重塑后，权重的形状为(H×W, C)。
用 $N(0,1)$ 初始化向量 $u$ 。
在for循环中，计算以下内容：

a) 用矩阵转置和矩阵乘法计算 $v =(w^T)u$ 。

b) 用其 $L_2$ 范数归一化 $v$ ，即 $v = v/||v||_2$ 。

c) 计算 $u = wv$ 。

d) 用 $L_2$ 范数归一化 $u$ ，即 $u = u/||u||_2$ 。
计算频谱范数为 $u^Twv$ 。
最后，将权重除以频谱范数。

完整的代码如下：

import tensorflow as tf
class SpectralNorm(tf.keras.constraints.Constraint):
    def __init__(self, n_iter=5):
        self.n_iter = n_iter
    def call(self, input_weights):
        w = tf.reshape(input_weights, (-1, input_weights.shape[-1]))
        u = tf.random.normal((w.shape[0], 1))
        for _ in range(self.n_iter):
            v = tf.matmul(w, u, transpose_a=True)
            v /= tf.norm(v)
            u = tf.matmul(w, v)
            u /= tf.norm(u)
        spec_norm = tf.matmul(u, tf.matmul(w, v),    transpose_a=True)
        return input_weights/spec_norm
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迭代次数是一个超参数，一般情况下 5 次就足够了。频谱归一化也可以实现为具有一个变量来保存向量 $u$ ，而不是从随机值开始。这会将迭代次数减少到 1。实现频谱归一化，我们可以通过将其用作卷积核约束来应用频谱归一化，如：

Conv2D(3,1,kernel_constraint = SpectralNorm())
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