洛谷P1516 青蛙的约会(扩展欧几里得EXGCD)

洛谷P1516 青蛙的约会(扩展欧几里得EXGCD)

TITLE

思路

$a\ast x+b\ast y=c存在整数解当且仅当\gcd (a,b)|c$

$扩展欧几里得算法实现求解二元一次不定方程的整数解$

$若求出a\ast x^{\prime }+b\ast y^{\prime }=\gcd (a,b)，那么将等式两边变为原来的c/\gcd (a,b)倍$

$$a\ast x+b\ast y=\gcd (a,b)$$

$$\because \gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$

$$\because a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a-\lfloor a/b\rfloor \ast b$$

$$设b\ast x^{\prime }+a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b\ast y^{\prime }=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$$

$$\therefore b\ast x^{\prime }+(a-\lfloor a/b\rfloor \ast b)\ast y^{\prime }=\gcd (a,b)$$

$$\therefore b\ast x^{\prime }+a\ast y^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast b\ast y^{\prime }=a\ast x+b\ast y$$

$$令x=y^{\prime }$$

$$\therefore b\ast x^{\prime }+a\ast x-\lfloor a/b\rfloor \ast b\ast x=a\ast x+b\ast y$$

扫描二维码关注公众号，回复： 13266953 查看本文章

$$\therefore b\ast x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast b\ast x=b\ast y$$

$$\therefore x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast x=y$$

$$\therefore y=x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast y^{\prime }$$

$$x=y^{\prime },y=x^{\prime }-\lfloor a/b\rfloor \ast y^{\prime }$$

$$当b=0$$

$$a\ast 1+0\ast 0=\gcd (a,0)$$

$$x=1,y=0$$

long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    
    
	if(!b){
    
    x=1,y=0;return a;}
	long long ans=exgcd(b,a%b,x,y),tem=x;
	x=y,y=tem-a/b*y;
	return ans;
}

$设x0,y0是ax+by=\gcd (a,b)的一个特解，那么通解为:$

$$x=x0+b/\gcd (a,b)\ast t,$$

$$y=y0-a/\gcd (a,b)\ast t,$$

$t为任意整数，可以应用至求最小非负整数解$

CODE

#include<iostream> 
#include<cstdio>
using namespace std;
long long gcd(long long x,long long y)
{
    
    
	for(long long r=x%y;r;x=y,y=r,r=x%y);
	return y;
}
long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
{
    
    
	if(!b){
    
    x=1,y=0;return a;}
	long long ans=exgcd(b,a%b,x,y),tem=x;
	x=y,y=tem-a/b*y;
	return ans;
}
int main()
{
    
    
	long long x,y,m,n,l,a,b,g,ans;
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
	if(n>m)b=x-y,a=n-m;
	else b=y-x,a=m-n;
	ans=exgcd(a,l,x,y);
	if(b%ans)printf("Impossible");
	else printf("%lld",(b/ans*x%(l/ans)+(l/ans))%(l/ans));
	return 0;
}