今天是1024程序员节。
这是李宏毅老师的2021春季机器学习课程笔记。现在开始第一节 Introduction 的学习，让我们开始吧。
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Step 1. Function with Unknown Parameters
Step 2. Define Loss from Training Data
Regression
第一堂课是要简单跟大家介绍一下machine learning还有deep learning的基本概念，等一下会讲一个跟宝可梦完全没有关系的故事。什么是机器学习呢？
想必大家在报章杂志上其实往往都已经听过机器学习这一个词汇，那你可能也知道说机器学习就是跟今天很热门的AI好像有那么一点关联。
那所谓的机器学习到底是什么呢？顾名思义，机器他具备有学习的能力，那些科普文章往往把机器学习这个东西吹得玄之又玄，好像机器会学习以后，我们就有了人工智慧，有了人工智慧以后机器接下来就要统治人类了。那机器学习到底是什么呢？事实上，机器学习概括来说可以用一句话来描述机器学习这件事，机器学习就是让机器具备找一个函式的能力。
那机器具备找函式的能力以后，他确实可以做很多事。举例来说（如上图）
- 假设你今天想要叫机器做语音辨识，机器听一段声音，产生这段声音对应的文字，那你需要的就是一个函式，这个函式的输入是声音讯号，输出是这段声音讯号的内容。那你可以想像说，这个可以把声音讯号，当作输入文字当作输出的函式，显然非常非常的复杂，他绝对不是，你可以用人手写出来的方程式，这个函式他非常非常的复杂，人类绝对没有能力把它写出来，所以我们期待凭借着机器的力量，把这个函式自动找出来，这件事情，就是机器学习。
- 假设我们现在要做影像辨识，那这个影像辨识我们需要什么样的函式呢？这个函式的输入是一张图片，它的输出是这个图片里面有什么样的内容。
- 或者是大家都知道的AlphaGo，其实也可以看作是一个函式，要让机器下围棋，我们需要一个函式，这个函式的输入是棋盘上黑子跟白子的位置，输出输出是机器下一步应该落子的位置。假设你可以找到这样一个函式，那我们就可以让机器做自动下围棋，这件事就可以做一个AlphaGo。
Different types of Functions
随着我们要找的函式不同，机器学习有不同的类别，那这边介绍几个专有名词给大家认识一下。 第一个专有名词叫作Regression。Regression的意思是说，假设我们今天要找的函式，他的输出是一个数值，他的输出是一个 scalar，那这样子的机器学习的任务，我们称之为Regression。
那这边举一个Regression的例子，假设我们今天要机器做的事情，是预测未来某一个时间的PM2.5的数值，机器做的事情是找一个函式，这个我们用f来表示，这个函式的输出是明天中午的PM2.5的数值，他的输入可能是种种跟预测PM2.5有关的指数，包括今天的PM2.5的数值，今天的平均温度，今天平均的臭氧浓度等等，这一个函式可以拿这些数值当作输入，输出明天中午的PM2.5的数值，那这一个找这个函式的任务，叫作Regression。
除了Regression以外，另外一个大家耳熟能详的任务，叫作Classification，那Classification这个任务，要机器做的是选择题。我们先准备好一些选项，那这些选项，又叫作类别（classes），我们现在要找的函式的输出，就是从我们设定好的选项里面，选择一个当作输出那这个问题，这个任务就叫作Classification。
举例来说，现在每个人都有gmail account，那gmail account里有一个函式，这个函式可以帮我们侦测一封邮件，是不是垃圾邮件，这个函式的输入是一封电子邮件，那他的输出是什么呢，你要先准备好你要机器选的选项，在侦测垃圾邮件这个问题里面，可能的选项就是两个，是垃圾邮件或不是垃圾邮件，Yes或者是No，那机器要从Yes跟No里面，选一个选项出来，这个问题叫作Classification，那Classification不一定只有两个选项，也可以有多个选项。
举例来说，如上图，alpha go本身也是一个Classification的问题，那只是这个Classification的选项是比较多的，那如果要叫机器下围棋，你想做一个 alpha go的话，我们要给机器多少的选项呢，你就想想看棋盘上有多少个位置，那我们知道棋盘上有19乘19个位置，其实，就是一个有19乘19个选项的选择题，机器做的就是找一个函式，这个函式的输入是棋盘上，黑子跟白子的位置，输出就是从19乘19个选项里面，选出一个正确的选项，从19乘19个可以落子的位置里面，选出下一步应该要落子的位置，那这个问题也是一个分类的问题。
其实很多教科书在讲机器学习的不同类型的任务的时候，往往就讲到这边。机器学习两大类任务，一个叫作Regression，一个叫作Classification，然后就结束了，但是假设你对机器学习的认知，只停留在机器学习就是两大类任务，Regression跟Classification，那就好像说，这个世界只有五大洲一样（这是远远不够的）。
你知道这个世界不是只有五大洲，这个世界外面是有一个黑暗大陆。这鬼灭之刃连载之前，我们就已经出发前往黑暗大陆了，鬼灭之刃连载以后，我们居然都还没有到，可见这个黑暗大陆距离那么远，那在机器学习这个领域里面，所谓的黑暗大陆是什么呢，在于Regression跟Classification以外，大家往往害怕碰触的问题，叫作Structured Learning，也就是机器今天不只是要做选择题，不只是输出一个数字，还要产生一个有结构的物件。举例来说，机器画一张图写一篇文章，这种叫机器产生有结构的东西的问题，就叫作Structured Learning，那如果要讲得比较拟人化，就是要叫机器学会创造这件事情。那到目前为止，我们就是讲了三个机器学习的任务，Regression、Classification跟Structured Learning。
Case Study
机器学习就是要找一个函式，那机器怎么找一个函式呢，那这边要用个例子跟大家说明说。在讲这个例子之前，先跟大家说一下，说这一门课有一个youtube的频道https://www.youtube.com/c/HungyiLeeNTU，然后这个我会把上课的录影，放到这个youtube的频道上面，感谢过去修过这门课的同学不嫌弃，其实也蛮多人订阅，所以我算是一个三流的youtuber，是没有什么太多流量，但是这边也是有7万多订阅（李宏毅老师很谦虚呀！）。
那为什么突然提到，这个youtube的频道呢，因为我们等一下要举的例子，跟youtube是有关系的，youtuber在意的，就是这个频道的流量。假设有一个youtuber，是靠着youtube维生的，他会在意频道有没有流量，这样他才会知道他可以获利多少，假设你自己有youtube频道的话，你会知道说在youtube后台，你可以看到很多相关的资讯，你可以看到很多相关的资讯，比如说每一天按赞的人数有多少，每一天订阅的人数有多少，每一天观看的次数有多少，我们能不能够根据，一个频道过往所有的资讯去预测，它明天有可能的观看的次数是多少呢，我们能不能够找一个函式，这个函式的输入是youtube上面，youtube后台是我的资讯，输出就是某一天这个频道会有的总观看的次数。
机器学习找这个函式的过程，分成三个步骤，那我们就用Youtube频道，点阅人数预测这件事情，来跟大家说明这三个步骤，是怎么运作的。
Step 1. Function with Unknown Parameters
第一个步骤是我们要写出一个，带有未知参数的函式，简单来说就是我们先猜测一下，我们打算找的这个函式F，它的数学式到底长什么样子。举例来说，我们这边先做一个最初步的猜测，我们写成这个样子 y=b+w*xₗ 这边的每一个数值是什么呢，这个y就假设是今天吧，不过今天还没有过完，所以我还不知道，今天总共的点阅次数是多少，所以这件事情是我们未知的。
- y是我们准备要预测的东西，我们准备要预测的是今天（2月26号）这个频道总共观看的人；
- xₗ是这个频道前一天总共观看的人数，y跟xₗ都是数值；
- b跟w是未知的参数，它是准备要通过资料去找出来的，我们还不知道w跟b应该是多少，我们只是隐约的猜测；
这个猜测往往就来自于，你对这个问题本质上的了解，也就是Domain knowledge，所以才会听到有人说，这个做机器学习啊，就需要一些Domain knowledge，所以我们这个能够预测未来点阅次数的函式F，它就一定是前一天的点阅次数乘上w再加上b呢，我们先不知道这是一个猜测，也许我们觉得说，这个今天的点阅次数，总是会跟昨天的点阅次数有点关联，所以我们把昨天的点阅次数，乘上一个数值，但是总是不会一模一样，所以再加上一个b做修正，当作是对于2月26号，点阅次数的预测，这是一个猜测，它不一定是对的，我们之后会再来修正这个猜测。
那现在总之，我们就猜测y=b+wxₗ，而b跟w是未知的参数（Parameter），这个带有Unknown的Parameter的Function 叫做模型（Model）。这个xₗ是这个Function里面我们已知的东西，它是来自于Youtube后台的资讯，已知2月25号点阅的总人数是多少，这个东西叫做特征（Feature）。那这边我们也给w跟b一个名字，这个w我们叫它weight，b我们叫它Bias，那这个只是一些名词的定义而已，在讲解起来更为方便，这个是第一个步骤。
Step 2. Define Loss from Training Data
第二个步骤，是我们要定义Loss Function，那这个Function它的输入是Parameter，即Model里面的参数b跟w，这是我们准备要找出来的；输出的值代表说，现在如果我们把这一组未知的参数，设定某一个数值的时候，这笔数值好还是不好。
那这样讲可能你觉得有点抽象，看一个具体的例子。假设现在未知的参数是b等于0.5k，w等于1，那这个Loss怎么计算呢？
我们从训练资料来进行计算。在这个问题里面是这个频道过去的点阅次数，例如，2017年1月1号到2020年12月31号的点阅数字（这边是假的数字），接下来我们就可以计算Loss。
我们把2017年1月1号的点阅次数，代入这一个函式里面，此时xₗ=4.8k，得到5.3k的点阅次数。那隔天实际上的点阅次数，我们知道为4.9k，所以我们可以比对一下，函式预估的结果跟真正的结果（这个真实的值叫做Label），它的差距有多大。这边估测的值用y来表示，真实的值用ŷ来表示，你可以计算y跟ŷ之间的差距eₗ。那计算差距其实不只一种方式，这边把y跟ŷ相减，直接取绝对值，算出来的值是0.4k。
那我们不是只能用1月1号，来预测1月2号的值，同理，我们可以用1月2号的值，来预测1月3号的值，以xₗ代4.9k进去，乘1在加0.5k 等于5.4k，接下来计算e₂（y跟ŷ之间的差距），算出来是2.1k。同样可以算过这三年每一天的预测的误差，每一天的误差都可以给我们一个e。
接下来我们把每一天的误差加起来然后取得平均，N代表我们的训验资料的个数，就是365乘以3，我们算出一个L，是每一笔训练资料的误差，就是我们的Loss。L越大，代表我们现在这一组参数越不好，L越小，代表现在这一组参数越好。
估测的值跟实际的值之间的差距，其实有不同的计算方法，在我们刚才的例子里面，我们是算y跟ŷ之间，绝对值的差距，这一种计算差距的方法，得到的这个大L，得到的Loss叫 mean absolute error（MAE）。如果你今天的e是用，相减y平方算出来的，这个叫mean square error（MSE）。那MSE跟MAE，他们其实有非常微妙的差别。我们就是选择MAE和MSE都是可以的。如果y和ŷ它都是机率分布的话，你可能会选择Cross-entropy，这个我们都之后再说。我们这边就是选择了MAE。
这里再补充一个概念Error Surface：
对于真实的例子，这个频道真实的后台的数据所计算出来的结果，那我们可以调整不同的w，我们可以调整不同的b，组合起来以后，都去计算它的Loss，然后就可以画出下面的这个等高线图。
如上图所示，越偏红色系，代表计算出来的Loss越大，就代表这一组w跟b越差，如果越偏蓝色系，就代表Loss越小，就代表这一组w跟b越好。假设w在负0.25，这个b在负500，就代表说这个频道每天看的人越来越少，而且Loss这么大，跟真实的状况不太合；如果w在0.75、b在500，那这个估测会比较精准。那估测最精准的地方看起来应该是在这里啦，w代一个很接近1的值，b带一个小小的值，比如说100多，那这个时候估测是最精准的，那这跟大家的预期可能是比较接近的，就是你拿前一天的点阅的总次数，去预测隔天的点阅的总次数，那可能前一天跟隔天的点阅的总次数，其实是差不多的，所以w设1，然后b设一个小一点的数值，也许你的估测就会蛮精准的，那像这样子的一个等高线图，就是你试着试了不同的参数，然后计算它的Loss，画出来的这个等高线图，叫做Error Surface，那这个是机器学习的第二步。
Step 3. Optimization
接下来我们进入机器学习的第三步，解一个最佳化的问题。把未知的参数w跟b，找一个数值出来，代入L，让我们的Loss的值最小，那个就是我们要找的w跟b。
在这一门课里面我们唯一会用到的Optimization的方法，叫做梯度下降法（Gradient Descent）。为了要简化起见，先假设未知的参数只有一个，只有w这个未知的参数。
那当我们w代不同的数值的时候，我们就会得到不同的Loss，这一条曲线就是error surface，只是刚才在前一个例子我们看到的error surface是二维的是2D的，那这边只有一个参数，所以我们看到的这个error surface，是1D的。
那怎么样找一个w，去让这个loss的值最小呢?
- 那首先你要随机选取一个初始的点w₀，那这个初始的点往往真的就是随机的，那在往后的课程里面，我们其实会看到也许有一些方法，可以给我们一个比较好的的值。
- 那接下来你就要计算，在w等于w0的时候，w这个参数对loss的微分是多少∂L/∂w |(w=w^0 )，计算在w₀这个位置的error surface的切线斜率，也就是这一条蓝色的虚线。那如果这一条虚线的斜率是负的，那代表什么意思呢，代表说在这个位置附近左边比较高，右边比较低。
- 那如果左边比较高右边比较低的话，我们就把w的值变大，那我们就可以让loss变小，如果算出来的斜率是正的，就代表说左边比较低右边比较高，那么下一步w往左边移，我们可以让Loss的值变小。那假设你连斜率是什么都不知道的话，也没有关系，你就想象说有一个人站在这个地方，然后他左右环视一下，那这一个算微分这件事啊，就是左右环视，它会知道左边比较高还是右边比较高，看哪边比较低，它就往比较低的地方跨出一步。
- 那这一步要跨多大呢，这一步的步伐的大小取决于两件事情：
- 第一件事情是这个地方的斜率有多大，这个地方的斜率大，这个步伐就跨大一点，斜率小步伐就跨小一点。
- 另外一个东西会影响步伐大小，这个东西我们这边用η来表示，这个η叫做学习速率（learning rate），它是你自己设定的。如果η设大一点，那你每次参数update就会量大，你的学习可能就比较快，如果η设小一点，那你参数的update就很慢，每次只会改变一点点参数的数值。这种你在做机器学习需要自己设定的东西叫做hyperparameters。
有同学问说，为什么loss可以是负的呢?
Loss这个函数是自己定义的，所以在刚才我们的定义里面，我们说loss就是估测的值，跟正确的值，它的绝对值，那如果根据刚才loss的定义，那它不可能是负的，但是loss的这一个function，是你自己决定的，你可以说，我今天要决定一个loss function，就是绝对值再减100，那你可能就有负的，所以我这边这一个curve并不是一个真实的loss，它是我随便乱举的一个例子，因为在今天，我想要举一个比较general 的case，它并不是一个真实任务的，Error surface，所以这个loss的这个curve，这个error surface，它可以是任何形状，这边没有预设立场说，它一定要是什么形状，但是在刚才这一个如果loss的定义是绝对值，那它就不可能是负值，但这个loss，这个function是你自己决定的，所以它有可能是负的。
那我们说我们要把w⁰往右移一步，那这个新的位置就叫做w¹，这一步的步伐是η乘上微分的结果，那如果你要用数学式来表示它的话，就是把w⁰减掉η乘上微分的结果，那接下来你就是反复进行刚才的操作，你就计算一下w¹微分的结果，然后再决定现在要把w¹移动多少，然后再移动到w²，然后你再继续反覆做同样的操作，不断的把w移动位置，最后你会停下来。
什么时候会停下来呢?往往有两种状况：
- 第一种状况是你失去耐心了，你一开始会设定说，我今天在调整我的参数的时候，我在计算我的微分的时候，我最多计算几次，你可能会设说，我的上限就是设定100万次，就我参数更新100万次以后，我就不再更新了，那至于要更新几次，这个也是一个hyperparameter，这个是你自己决定的，做一个deadline是明天，那你可能更新的次数就设少一点，对它下周更新的次数就设多一点。
- 那还有另外一种理想上的，停下来的可能是，今天当我们不断调整参数，调整到一个地方，它的微分的值就是这一项，算出来正好是0的时候，如果这一项正好算出来是0，0乘上learning rate η还是0，所以你的参数就不会再移动位置，那假设我们是这个理想的状况，我们把w⁰更新到w¹，再更新到w²，最后更新到wᵗ有点卡，wᵗ卡住了，也就是算出来这个微分的值是0了，那参数的位置就不会再更新。
你可能会马上发现说，Gradient Descent 这个方法，有一个巨大的问题，我们没有找到真正最好的解，在这个例子里面，从W^0当作随机初始的位置，很有可能走到W^T这里，你的训练就停住了，你就没有办法再移动w的位置。那右侧红点这一个位置，这个真的可以让loss最小的地方，叫做全局最小值（global minima），而W^T这个地方叫做局部最小值（local minima），它的左右两边，都比这个地方的loss还要高一点，但是它不是整个error surface上面的最低点。
所以常常可能会听到有人讲到，Gradient Descent不是个好方法，这个方法会有local minima的问题，没有办法真的找到global minima，但这个其实只是幻觉而已。事实上，假设你有做过深度学习相关的事情，自己训练过network，自己做过Gradient Descent 经验的话，其实local minima是一个假问题。我们在做Gradient Descent 的时候，真正面对的难题不是local minima，之后会讲到底是什么。在这边你就先接受，先相信多数人的讲法说，Gradient Descent有local minima的问题。在这个图上在这个例子里面，显然有local minima的问题，但之后会再告诉你说，Gradient Descent真正的痛点，到底是什么。
刚才举的例子，是只有一个参数的例子而已。那实际上我们刚才的模型有两个参数有w跟b，那有两个参数的情况下，怎么用Gradient Descent呢？如上图所示，其实跟刚才一个参数没有什么不同，若一个参数你没有问题的话，你可以很快的推广到两个参数。
- 我们现在有两个参数，都给它随机的初始的值，就是w⁰跟b⁰
- 你要计算w跟loss的微分和b对loss的微分，计算是在w等于w⁰的位置，b等于b₀的位置，你要计算w对L的微分，计算b对L的微分， {∂L}/{∂b} |(w=w^0，b=b^0 )
- 计算完以后，就根据之前一个参数的时候的做法去更新w跟b，把w⁰减掉learning rate乘上微分的结果得到w¹，把b⁰减掉learning rate乘上微分的结果得到b¹
如果你不会算微分的话，不用紧张，在pytorch里面，算微分都是程序帮你算的，写一行程序，自动就把微分的值就算出来了。这个等一下之后在做AE的时候，大家可以自己体验看看，那就是反覆同样的步骤，就不断的更新w跟b，然后期待最后可以找到一个最好的w跟最好的b。
接下来看看它操作起来是什么样子。
假设你随便选一个初始的值在这个地方（上图小圆点），先计算一下w对L的微分和b对L的微分，然后接下来更新w跟b，更新的方向就是w对L的微分乘以η再乘以一个负号，你就可以决定w要怎么更新，b也同理，然后把w跟b更新的方向结合起来，得到一个矢量（上图这个红色的箭头），我们就从这个位置移到这个位置。
然后再计算一次微分，决定要走什么样的方向，把这个微分的值乘上learning rate，再乘上负号，你就知道红色的箭头要指向那里，结合w跟b的移动位置，一直移动一直移动一直移动，期待最后可以找出一组不错的w跟b。
那实际上真的用Gradient Descent，进行一番计算以后，这个是真正的数据，我们算出来的最好的w是0.97，最好的b是0.1k，跟我们的猜测蛮接近的，因为x₁的值可能跟y很接近，所以这个w就设一个接近1的值，b就设一个比较偏小的值。那loss多大呢，loss算一下是0.48k，即在2017到2020年的资料上，如果使用这一个函式，b=0.1k，w=0.97，那平均的误差是0.48k，也就是它的预测的观看人数误差，大概是500人次左右。
Linear Model
那w跟b的值刚才已经找出来的，那这组w跟b可以让loss小到0.48k，但是这样是一个让人满意或值得称道的结果吗？
也许不是，如上图，这三个步骤合起来叫做训练。我们现在是在知道答案的资料上去计算loss。所以其实我们现在其实只是在自high而已，就是假装我们不知道隔天的观看次数，然后拿这一个函式来进行预测，发现误差是0.48k。
但是我们真正要在意的是未来的观看的次数是多少，所以接下来拿这个函式来真的预测一下未来的观看次数。
那这边，我们已知2017年到2020年的值，接下来从2021年开始每一天，我们都拿这个函式，去预测隔天的观看人次，我们就拿2020年的12月31号的观看人次，去预测2021年元旦的观看人次；用2021年元旦的观看人次预测一下2021年1月2号的观看人次；用1月2号的观看人次去预测1月3号的观看人次......每天都做这件事，一直做到2月14号情人节，然后得到平均的误差值。在2021年没有看过的资料上，用L prime来表示，它是0.58k，看起来误差值是比较大的，那我们每一天的平均误差，有580人左右，600人左右。
能不能够做得更好呢，在做得更好之前，我们先来分析一下结果，如上图所示：
- 横轴是代表的是时间，所以0（最左边的点），代表的是2021年1月1号，最右边点代表的是2021年2月14号
- 纵轴就是观看的人次，这边是用千人当作单位；
- 红色的线是真实的观看人次
- 蓝色的线是机器用这一个函式，预测出来的观看人次
你有发现很明显的，这蓝色的线没什么神奇的地方，它几乎就是红色的线往右平移一天而已，因为这很合理，因为我们觉得，可以拿前一天的观看人次去预测隔天的观看人次，前一天观看人次乘以0.97，加上0.1。但是如果你仔细观察这个图，你就会发现，这个真实的资料有一个很神奇的现象，它是有周期性的，它每隔七天就会有两天特别低，两天观看的人特别少，那两天是什么日子呢，是礼拜五跟礼拜六，可能大家出去玩，那不知道为什么，礼拜天大家去学机器学习，这个我还没有参透为什么是这个样子。也许跟youtube背后，神奇的算法有关系，比如说youtube都会推频道的影片，也许youtube在推频道的影片的时候，它都选择礼拜五礼拜六不推，只推礼拜天到礼拜四，可是为什么推礼拜天到礼拜四呢，这个我也不了解，但是反正看出来的结果，我们看真实的数据，每隔七天一个循环，每个礼拜五礼拜六，看的人就是特别少。所以既然我们已经知道每隔七天是一个循环，那这一个model显然很烂，因为它只能够看前一天。
每隔七天它一个循环，如果我们一个模型，它是参考前七天的资料，把七天前的资料，直接复制到拿来当作预测的结果，也许预测的会更准也说不定，所以我们就要修改一下我们的模型。通常一个模型的修改，往往来自于你对这个问题的理解，就是Domain Knowledge。
所以一开始，我们对问题完全不理解的时候，我们就胡乱写一个 y=b+wx_1 ，效果并没有特别好。接下来我们观察了真实的数据以后，得到一个结论是，每隔七天有一个循环，所以我们应该要把，前七天的观看人次都列入考虑，所以写了一个新的模型。
xⱼ的下标j代表是几天前，然后这个j等于1到7，也就是从一天前一直考虑到七天前，那七天前的资料，通通乘上不同的weight，乘上不同的wⱼ，加起来，再加上bias，得到预测的结果。如果这个是我们的model，那我们得到的结果是怎么样呢，我们在训练资料上的loss是0.38k，那因为这边只考虑一天，这边考虑七天，所以在训练资料上，你会得到比较低的loss，这边考虑了比较多的资讯，这边算出来是0.38k，在没有看到的资料上，有比较好，是0.49k。
那这边每一个w跟b，我们都会用Gradient Descent，算出它的最佳值，它的最佳值长什么样子呢，这边show出来。当然机器的逻辑我是有点没有办法了解，我本来以为它会选七天前的数据，七天前的观看人数，直接复制过来，我看来它没有这样选就是了。
它的逻辑是前一天，跟你要预测的隔天的数值的关系很大，所以w₁是0.79，前三天是0.12，然后前六天是0.3，前七天是0.18，不过它知道说，如果是前两天前四天前五天，它的值会跟未来我们要预测的，隔天的值是成反比的，所以w₂ w₄跟w₅它们最佳的值是负的，但是w₁ w₃ w₆跟w₇是正的。我们考虑前七天的值，那你可能会问说，能不能够考虑更多天呢，可以，那这个轻易的改考虑更多天，本来是考虑前七天，然后考虑28天会怎么样呢，28天就一个月，考虑前一个月每一天的观看人次，去预测隔天的观看人次，预测出来结果怎样呢，训练资料上是0.33k，那在2021年的资料上，在没有看过的资料上是0.46k，看起来又更好一点。那接下来考虑56天会怎么样呢？在训练资料上是稍微再好一点，是0.32k，在没看过的资料上还是0.46k，看起来，考虑更多天没有办法再更进步了，也许已经到了一个极限。这边这些模型输入x（feature），把feature乘上一个weight，再加上一个bias就得到预测的结果，这样的模型有一个共同的名字，叫做Linear model，那我们接下来会看，怎么把Linear model做得更好。
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