【LeetCode 动态规划专项】最大子序和（53）

1. 题目

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

1.1 示例

• 示例 $1$：

• 输入： nums = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]

• 输出： $6$

• 解释： 连续子数组 [4, -1, 2, 1] 的和最大，为 $6$ 。

• 示例 $2$：

• 输入： nums = [1]

• 输出： $1$

• 示例 $3$：

• 输入： nums = [0]

• 输出： $0$

• 示例 $4$：

• 输入： nums = [-1]

• 输出： $-1$

• 示例 $5$：

• 输入： nums = [-100000]

• 输出： $-100000$

1.2 说明

• 来源： 力扣（LeetCode）
• 链接： https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray

1.3 提示

• $1\le nums.length\le 3\ast 10^4$
• $-10^5\le nums[i]\le 10^5$

1.4 进阶

如果你已经实现复杂度为 $O(n)$ 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

2. 解法一（动态规划）

2.1 分析

解答本题的关键在于正确定义 dp 数组以及找到状态转移方程，这里我们将 dp[i] 定义为以 nums[i] 结尾的子数组中元素和的最大值。

2.2 解答

from typing import List, Union


class Solution:
    def max_subarray(self, nums: List[int]) -> Union[int, float]:
        dp = [-float('INF')] * len(nums)  # dp[i] being the maximum element-wise sum of all sub arrays end with nums[i]
        dp[0] = nums[0]
        for i in range(1, len(dp)):
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])
        return max(dp)


def main():
    nums = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
    sln = Solution()
    print(sln.max_subarray(nums))


if __name__ == '__main__':
    main()

• 执行用时： 32 ms , 在所有 Python3 提交中击败了 93.03% 的用户；
• 内存消耗： 15.2 MB , 在所有 Python3 提交中击败了 84.08% 的用户。

2.3 复杂度

• 时间复杂度： $O(n)$，其中 $n$ 为 nums 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。
• 空间复杂度： $O(n)$。我们需要使用 dp 作为辅助存储容器。

实际上，上述解法还可以进一步优化以进一步提高算法的空间复杂度：

from typing import List, Union


class Solution:
    def efficient_max_subarray(self, nums: List[int]) -> int:
        max_sum = nums[0]
        cur_sum = nums[0]
        for i in range(1, len(nums)):
            cur_sum = max(cur_sum + nums[i], nums[i])
            if cur_sum > max_sum:
                max_sum = cur_sum
        return max_sum


def main():
    nums = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]
    sln = Solution()
    print(sln.efficient_max_subarray(nums))


if __name__ == '__main__':
    main()

• 时间复杂度： $O(n)$，其中 $n$ 为 nums 数组的长度。我们只需要遍历一遍数组即可求得答案。
• 空间复杂度： $O(1)$。我们只需要常数空间存放若干变量。