VTK笔记-几何变换-绕任意轴旋转

绕任意轴旋转思路

中心轴与坐标轴平行

  1.将旋转轴平移与坐标轴重合，物体也做平移操作；
  2.物体绕坐标轴旋转；
  3.执行步骤1的逆操作，将旋转轴平移回到原来位置，物体也对应平移；

中心轴与坐标轴不平行

  可以参照上节的“中心轴与坐标轴平行”的做法，只是多一个步骤，将旋转轴旋转到与任意坐标轴平行，以及后面的逆操作；
  具体步骤：
  1.将旋转轴平移至原点；
  2.将旋转轴旋转至YOZ平面；
  3.将旋转轴旋转与Z轴重合；
  4.物体绕Z轴旋转$\theta$度；
  5.执行步骤3，步骤2，步骤1的逆操作；

计算向量$\vec{v}$绕向量$\vec{a}$旋转$\theta$度

  向量$\vec{v}$可以分解为向量$\overrightarrow{v_c}$与向量$\overrightarrow{v_1}$；
  向量$\overrightarrow{v_1}$绕向量$\vec{a}$旋转$\theta$度后，得到向量$\overrightarrow{v_1^{\prime }}$;
  我们最终的目标是计算得到向量$\overrightarrow{v^{\prime }}=\overrightarrow{v_c}+\overrightarrow{v_1^{\prime }}$;
  两个向量的初始值为：
     α ⃗ = { α x , α y , α z } \vec{\alpha }=\left \{ \alpha _{x} ,\alpha _{y},\alpha _{z}\right \} α ={ αx​,αy​,αz​}
     v ⃗ = { v x , v y , v z } \vec{v }=\left \{ v_{x} ,v_{y},v_{z}\right \} v ={ vx​,vy​,vz​}
  具体的计算步骤如下：
    1.计算得到向量$\vec{v}$在向量$\vec{a}$方向上的投影为：
        $\overrightarrow{v_c}=(\vec{v}\cdot \vec{\alpha })\cdot \vec{\alpha }$
    2.计算得到向量$\overrightarrow{v_1}$:
        $\overrightarrow{v_1}=\vec{v}-\overrightarrow{v_c}=\vec{v}-(\vec{v}\cdot \vec{\alpha })\cdot \vec{\alpha }$
      由于$\vec{\alpha }\times \vec{\alpha }=0$，则$\overrightarrow{v_2}$可以计算得到下式：
        $\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_1}\times \vec{\alpha }=(\vec{v}-(\vec{v}\cdot \vec{\alpha })\cdot \vec{\alpha })\times \vec{\alpha }=\vec{v}\times \vec{\alpha }-(\vec{v}\cdot \vec{\alpha })\cdot \vec{\alpha }\times \vec{\alpha }=\vec{v}\times \vec{\alpha }$
    3.计算得到$\overrightarrow{v^{\prime }}$:
        $\overrightarrow{v^{\prime }}=\overrightarrow{v_c}+\overrightarrow{v_1}\ast cos\theta +\overrightarrow{v_2}\ast sin\theta$
           $=\overrightarrow{v_c}+\overrightarrow{v_1}\ast C+\overrightarrow{v_2}\ast S$
           $=(\vec{v}\cdot \vec{\alpha })\cdot \vec{\alpha }+(\vec{v}-(\vec{v}\cdot \vec{\alpha })\cdot \vec{\alpha })\ast C+\vec{v}\times \vec{\alpha }\ast S$
           $=\vec{v}\ast C+(\vec{v}\cdot \vec{\alpha })\cdot \vec{\alpha }\ast (1-C)+\vec{v}\times \vec{\alpha }\ast S$
其中：C表示$cos\theta$,S表示$sin\theta$;
  将组成对象坐标系的三个坐标轴，同时绕向量$\vec{a}$旋转$\theta$度，可以得到旋转后的方向矩阵：

该矩阵的详细推导，参见3D数学 ---- 矩阵和线性变换（1）；

VTK中的旋转计算

void vtkTransformConcatenation::Rotate(double angle, double x, double y, double z)
{
    
    
  if (angle == 0.0 || (x == 0.0 && y == 0.0 && z == 0.0))
  {
    
    
    return;
  }

  // convert to radians
  angle = vtkMath::RadiansFromDegrees( angle );

  // make a normalized quaternion
  double w = cos(0.5*angle);
  double f = sin(0.5*angle)/sqrt(x*x+y*y+z*z);
  x *= f;
  y *= f;
  z *= f;

  // convert the quaternion to a matrix
  double matrix[4][4];
  vtkMatrix4x4::Identity(*matrix);

  double ww = w*w;
  double wx = w*x;
  double wy = w*y;
  double wz = w*z;

  double xx = x*x;
  double yy = y*y;
  double zz = z*z;

  double xy = x*y;
  double xz = x*z;
  double yz = y*z;

  double s = ww - xx - yy - zz;

  matrix[0][0] = xx*2 + s;
  matrix[1][0] = (xy + wz)*2;
  matrix[2][0] = (xz - wy)*2;

  matrix[0][1] = (xy - wz)*2;
  matrix[1][1] = yy*2 + s;
  matrix[2][1] = (yz + wx)*2;

  matrix[0][2] = (xz + wy)*2;
  matrix[1][2] = (yz - wx)*2;
  matrix[2][2] = zz*2 + s;

  this->Concatenate(*matrix);
}

参考资料

1.http://www.cppblog.com/lovedday/archive/2008/01/12/41031.html
2.https://www.cnblogs.com/cg_ghost/archive/2012/04/27/2473347.html
3.http://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Rotation_matrix_from_axis_and_angle