CHAPTER_10 提高篇(4)——图算法专题
10.4.1最短路径
最短路径是图论中一个很经典的问题：给定图G(V,E)，求一条从起点到终点的路径，使得这条路径上经过的所有边的边权之和最小。
如下图所示，在从V0到V6的路径中，V0—V1—V4—V6的路径的边权之和等于3，达到最小，因此这条路径称为V0—V6的最短路径。
对给定任意的图G(V,E)和起点S、终点T，求其最短路径的常用算法有：Dijkstra、Bellman-Ford、SPFA和Floyd。
10.4.2Dijkstra算法
Dijkstra(可读作迪杰斯特拉)用来解决单源最短路径问题，即给定图G和起点S，通过算法得到S到达其他每个顶点的最短距离。
Dijkstra的基本思想是对图G设置集合SET，存放已经被访问的顶点，然后每次从集合V-SET中选择与起点S的最短距离最小的一个顶点(记为u)，访问并加入集合SET。之后，令顶点u为中介点，优化起点S与所有从u能到达的顶点v之间的最短距离。这样的操作只需n次(n为顶点个数)，直到集合SET已包含所有顶点。
我们以0为起点使用Dijkstra算法，通过下面示例来理解：
SET最初为空，从起点0到各顶点的距离为{0，INF，INF，INF，INF，INF，INF，INF，INF}，其中INF表示无穷大。现在选择具有最小距离值的顶点。拾取顶点0，将其包含在SET中。因此SET变为{0}。将0包括到SET后，更新其相邻顶点的距离值。与0相邻的顶点是1和7，距离值1和7更新为4和8。至此SET和V-SET集合更新如下图(绿色为SET，红色为V-SET)：
从集合V-SET中选择与0的最短距离最小的顶点将其添加到SET。将1加入SET，所以SET现在变为{0,1}。顶点1与其相邻的顶点2的距离值为1，顶点0到顶点2的距离值更新为12。至此SET和V-SET集合更新如下图(绿色为SET，红色为V-SET)：
从集合V-SET中选择与0的最短距离最小的顶点将其添加到SET。将7加入SET，因此SET现在变为{0,1,7}。顶点7与顶点6和8相邻，顶点0到顶点6的距离值更新为9，顶点0到顶点8的距离值更新为15。至此SET和V-SET集合更新如下图(绿色为SET，红色为V-SET)：
从集合V-SET中选择与0的最短距离最小的顶点将其添加到SET。将6加入SET，因此SET现在变为{0,1,7,6}。顶点6与顶点5和8相邻，顶点0到顶点5的距离值更新为11，顶点0到顶点8的距离值还是15。至此SET和V-SET集合更新如下图(绿色为SET，红色为V-SET)：
接下来在V-SET中，与0最近的一个点是5，然后将顶点5加入SET......通过重复上述步骤，直到SET已经包含所有顶点(即所有顶点颜色变绿)，我们得到如下最短路径树：
通过这棵最短路径树，我们得到了从起点0出发，到达所有顶点的最短路径和路径值。
Dijkstra算法的具体实现：
通过上面的介绍，我们已经了解Dijkstra算法的流程。但是要实现代码，我们还要解决两个关键问题：如何实现集合SET？如何实现起点S到达顶点Vi(0<=i<=N-1)的最短距离？
（1）集合SET可以用一个bool数组vis[]来实现，即当vis[i]==true时表示顶点Vi已经访问(即Vi在SET中)；反之Vi不在SET中。
（2）令int型数组d[]表示起点S到顶点Vi的最短距离。初始时除了起点s的d[s]=0，其他顶点都赋值为INF。INF表示无限大，可以用16进制0x3fffffff表示INF。
实现代码(邻接表)：
#define INF 0x3fffffff
const int maxn=1001; //最大顶点数
int n; //顶点数
int d[maxn]; //记录最短路径
bool vis[maxv]={0}; //实现SET
struct node {
int v,distance; //v为边的终点,distance为边权
};
vector<node> Adj[maxn]; //邻接表
void Dijkstra() {
fill(d,d+n,INF);
d[s]=0; //初始化d[]
for(int i=0;i<n;i++) {
int u=-1,MIN=INF; //MIN存放最小的INF
for(int j=0;j<n;j++) { //找到未访问顶点中d[]最小的
if(vis[j]==0&&d[j]<MIN) {
u=j;
MIN=d[j];
}
}
//找不到小于INF的d[u],说明剩下的顶点和起点S不连通
if(u==-1)
return;
vis[u]=1; //标记u为已访问
for(int j=0;j<Adj[u].size();j++) { //获得每个u能到达的顶点
int v=Adj[u][j].v;
if(vis[v]==0&&d[u]+Adj[u][j].distance<d[v]) {
d[v]=d[u]+Adj[u][j].distance; //优化d[v]
}
}
}
}
有两点需要注意：
（1）Dijkstra算法只适用于边权都是非负的情况，如果边权出现负数，最好使用SPFA算法；
（2）上面算法实现了从起点S到每个顶点的单源最短路径值，但是没有解决从S到Vi的最短路径是哪一条的问题。要解决这个问题，我们需要设置一个数组pre[]，令pre[v]表示从S到V的最短路径上V的前一个顶点，同时时令pre[s]=s。这样，我们只需在上面优化d[v]的部分，加入pre[v]=u语句。这样最终记录起点S到V的最短路径上的前一个顶点u，在由pre[u]=w获得u的前一个顶点w，如此递推至起点pre[s]=s，我们就获得了S到V最短路径上的所有顶点。