375. 猜数字大小 II
我们正在玩一个猜数游戏，游戏规则如下：
我从 1 到 n 之间选择一个数字。
你来猜我选了哪个数字。
如果你猜到正确的数字，就会 赢得游戏 。
如果你猜错了，那么我会告诉你，我选的数字比你的 更大或者更小 ，并且你需要继续猜数。
每当你猜了数字 x 并且猜错了的时候，你需要支付金额为 x 的现金。如果你花光了钱，就会 输掉游戏 。
给你一个特定的数字 n ，返回能够 确保你获胜 的最小现金数，不管我选择那个数字 。
题解：
本题和测试次数一题比较相似，都是区间DP问题，且都有一个很恶心的点----最差运气与最优策略。
- 我们先来理解一下最差运气，顾名思义，即你的运气很差，不会让你一上来就刚好猜到答案。而这里的“确保你获胜的最小现金数”其实就体现了“最差运气”问题，因为当我们求出我们最差运气的情况下所需的现金数量时，拿着这个现金数去猜数字是一定足够的。
- 我们再来理解一下最优策略。由于我们要猜的那个数到底是什么我们是不知道的，即答案我们是掌控不了的，但是我们每次要猜哪一个数是我们可以选择的，因此我们要选择一种最优的策略，通过定制一套每次猜哪一个数的方案，来满足不论答案是哪一个数，我这套方案都是最优的。通过制定最优策略，使得我们可以得到一个最小现金数。且最优策略是要在最差运气的前提之下才有存在的意义，否则运气很好的话，根本不需要最优策略。因此我们说最差运气是最优策略的前提，最优策略又是对最差运气的弥补性操作。
理解了上述两个思想后，我们再来看一下这题。
- 根据“确保你获胜 的最小现金数”，我们就可以推出是最差运气下的最优策略选择问题。我们要求的是1-n内“确保你获胜
的最小现金数”，因此我们不妨设dp[i][j]为i -> j内“确保你获胜 的最小现金数”，因此dp[1][n]即我们所要答案。 - 我们进而要确定状态方程，由于我们每次猜哪个数是我们可以掌控的，因此若我们第一次猜
x，那么有： dp[i][j] = x + Math.max(dp[i][x-1]，dp[x+1][j]) ；- 之所以这里取max，就是因为最差运气的体现，我们要考虑运气最背的情况，因为运气是我们不能掌控的因素，而选择哪个数是我们可以掌控的。因此我们需要对x进行枚举，选出最优解，即所需现金数最少的情况。
- 所以即：
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],x + Math.max(dp[i][x-1],dp[x+1][j]));
因此最后dp[1][n]即为所求。
代码：
class Solution {
public int getMoneyAmount(int n) {
int[][] dp = new int[n+2][n+1];//开大一点数组防止对数组越界进行讨论了
for(int i=n;i>=1;i--){
for(int j=i;j<=n;j++){
if(i==j){
dp[i][j] = 0;
}
else{
dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
for(int x=i;x<=j;x++){
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],x + Math.max(dp[i][x-1],dp[x+1][j]));
}
}
}
}
return dp[1][n];
}
}