图
- 1)由点的集合和边的集合构成
- 2)虽然存在有向图和无向图的概念，但实际上都可以用有向图来表达
- 3)边上可能带有权值
图结构的表达
- 1)邻接表法
- 2)邻接矩阵法
- 3)除此之外还有其他众多的方式
图的面试题如何搞定
- 1图的算法都不算难，只不过coding 的代价比较高
- 2)先用自己最熟练的方式，实现图结构的表达
- 3)在自己熟悉的结构上，实现所有常用的图算法作为模板
- 4)把面试题提供的图结构转化为自己熟悉的图结构，再调用模板或改写即可
用代码实现图(点–>边–>图)
package com.harrison.class11;
import java.util.ArrayList;
// 点结构的描述
public class Node {
public int value;// 编号
public int in;// 入度 进到我这个点的边的数量
public int out;// 出度 从我这个点出去的边的数量
public ArrayList<Node> nexts;// 直接邻居 只算出度
public ArrayList<Edge> edges;// 边 从我这个点出发有几条边组成的边的数据结构 放在edges里面
public Node(int value) {
this.value=value;
in=0;
out=0;
nexts=new ArrayList<>();
edges=new ArrayList<>();
}
}
package com.harrison.class11;
public class Edge {
public int weight;
public Node from;
public Node to;
public Edge(int weight, Node from, Node to) {
this.weight = weight;
this.from = from;
this.to = to;
}
}
package com.harrison.class11;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;
public class Graph {
public HashMap<Integer,Node> nodes;// key是编号，value是实现的点
public HashSet<Edge> edges;
public Graph() {
nodes=new HashMap<>();
edges=new HashSet<>();
}
}
package com.harrison.class11;
public class GrahpGenerator {
// matrix 所有的边
// N*3 的矩阵
// [weight, from节点上面的值，to节点上面的值]
// [ 5 , 0 , 7]
// [ 3 , 0, 1]
public static Graph createGraph(int[][] matrix) {
Graph graph=new Graph();
for(int i=0; i<matrix.length; i++) {
//拿到每一条边， matrix[i]
int weight=matrix[i][0];
int from=matrix[i][1];
int to=matrix[i][2];
if(!graph.nodes.containsKey(from)) {
graph.nodes.put(from, new Node(from));
}
if(!graph.nodes.containsKey(to)) {
graph.nodes.put(to, new Node(to));
}
Node fromNode=graph.nodes.get(from);
Node toNode=graph.nodes.get(to);
Edge newEdge=new Edge(weight,fromNode,toNode);
fromNode.nexts.add(toNode);
fromNode.out++;
toNode.in++;
fromNode.edges.add(newEdge);
graph.edges.add(newEdge);
}
return graph;
}
}
图的宽度优先&深度优先遍历
宽度优先遍历
- 1）利用队列实现
- 2）从源节点开始依次按照宽度进队列，然后弹出
- 3）每弹出一个点，把该节点所有没有进过队列的邻接点放入队列
- 4）直到队列变空
package com.harrison.class11;
import java.util.HashSet;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
public class Code01_BFS {
// 从node出发，进行宽度优先遍历，只需要用到点结构
public static void bfs(Node node) {
if(node==null) {
return;
}
Queue<Node> queue=new LinkedList<>();
// 在二叉树进行宽度优先遍历时不会形成环
// 因为图会形成环，所有必须有个set来确保每个结点只进一次队列
HashSet<Node> set=new HashSet<>();
queue.add(node);
set.add(node);
while(!queue.isEmpty()) {
Node cur=queue.poll();
System.out.println(cur.value);
for(Node next: cur.nexts) {
if(!set.contains(next)) {
set.add(next);
queue.add(next);
}
}
}
}
}
深度优先遍历
- 1）利用栈实现
- 2）从源节点开始把节点按照深度放入栈，然后弹出
- 3）每弹出一个点，把该节点下一个没有进过栈的邻接点放入栈
- 4）直到栈变空
package com.harrison.class11;
import java.util.HashSet;
import java.util.Stack;
public class Code02_DFS {
public static void dfs(Node node) {
if(node==null) {
return;
}
//栈的作用：从栈底到栈顶记录的是深度优先遍历的路径
Stack<Node> stack=new Stack<>();
HashSet<Node> set=new HashSet<>();
stack.add(node);
set.add(node);
System.out.println(node.value);
while(!stack.isEmpty()) {
Node cur=stack.pop();
for(Node next: cur.nexts) {
if(!set.contains(next)) {
stack.add(cur);
stack.add(next);
set.add(next);
System.out.println(next.value);
break;
}
}
}
}
}
图的拓扑排序算法
一定是有向无环图
- 1)在图中找到所有入度为0的点输出
- 2)把所有入度为0的点在图中删掉，继续找入度为0的点输出，周而复始
- 3)图的所有点都被删除后，依次输出的顺序就是拓扑排序
- 要求:有向图且其中没有环
- 应用:事件安排、编译顺序
package com.harrison.class11;
import java.util.HashMap;
import java.util.LinkedList;
import java.util.List;
import java.util.Queue;
public class Code03_TopologySort {
// directed graph and no loop
public static List<Node> sortedTopology(Graph graph){
// key 某个点 value 剩余的入度
HashMap<Node,Integer> inMap=new HashMap<>();
//只有剩余入度为0的点，才能进入该队列
Queue<Node> zeroInQueue=new LinkedList<>();
for(Node node: graph.nodes.values()) {
inMap.put(node, node.in);
if(node.in==0) {
zeroInQueue.add(node);
}
}
List<Node> result=new LinkedList<>();
while(!zeroInQueue.isEmpty()) {
Node cur=zeroInQueue.poll();
result.add(cur);
for(Node next:cur.nexts) {
inMap.put(next, inMap.get(next)-1);
if(inMap.get(next)==0) {
zeroInQueue.add(next);
}
}
}
return result;
}
}
最小生成树算法
Kruskal
不能破环连通性
- 1)总是从权值最小的边开始考虑，依次考察权值依次变大的边
- 2)当前的边要么进入最小生成树的集合，要么丢弃
- 3)如果当前的边进入最小生成树的集合中不会形成环，就要当前边,
- 4)如果当前的边进入最小生成树的集合中会形成环，就不要当前边
- 5)考察完所有边之后，最小生成树的集合也得到了
package com.harrison.class11;
import java.util.Collection;
import java.util.Comparator;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Set;
import java.util.Stack;
public class Code04_Kruskal {
// Union-Find set 并查集
public static class UnionFind{
// key 某一个结点 value key结点往上的结点
public HashMap<Node, Node> fatherMap;
// key 某一个集合的代表结点 value key所在集合的结点个数
public HashMap<Node, Integer> sizeMap;
public UnionFind() {
fatherMap = new HashMap<Node,Node>();
sizeMap = new HashMap<Node,Integer>();
}
public void makeSets(Collection<Node> nodes) {
fatherMap.clear();
sizeMap.clear();
for(Node node:nodes) {
fatherMap.put(node,node);
sizeMap.put(node,1);
}
}
public Node findFather(Node n) {
Stack<Node> path = new Stack<>();
while (n != fatherMap.get(n)) {
path.push(n);
n = fatherMap.get(n);
}
while (!path.isEmpty()) {
fatherMap.put(path.pop(), n);
}
return n;
}
public boolean isSameSet(Node a,Node b) {
return findFather(a) == findFather(b);
}
public void union(Node a,Node b) {
Node aDai = findFather(a);
Node bDai = findFather(b);
if (aDai != bDai) {
int aSetSize = sizeMap.get(aDai);
int bSetSize = sizeMap.get(bDai);
Node big = aSetSize >= bSetSize ? aDai : bDai;
Node small = big == aDai ? bDai : aDai;
fatherMap.put(small, big);
sizeMap.put(big, aSetSize + bSetSize);
sizeMap.remove(small);
}
}
}
// 将所有的边按 边的权值大小 从小到大排序
public static class EdgeComparator implements Comparator<Edge>{
@Override
public int compare(Edge o1, Edge o2) {
// TODO Auto-generated method stub
return o1.weight-o2.weight;
}
}
public static Set<Edge> kruskalMST(Graph graph){
UnionFind unionFind=new UnionFind();
unionFind.makeSets(graph.nodes.values());
// 从小的边到大的边 依次弹出，小根堆！！
PriorityQueue<Edge> priorityQueue=new PriorityQueue<>(new EdgeComparator());
for(Edge edge: graph.edges) {
// M条边
priorityQueue.add(edge); // O(logM)
}
Set<Edge> result=new HashSet<>();
while(!priorityQueue.isEmpty()) {
// M条边
Edge edge=priorityQueue.poll(); // O(logM)
if(!unionFind.isSameSet(edge.from, edge.to)) {
//O(1)
result.add(edge);
unionFind.union(edge.from, edge.to);
}
}
return result;
}
}
Prim
-
1）随便选一个结点解锁，相邻的边也全部解锁，然后选一条权值最小的边
-
2）新解锁的边两侧有新结点，则把新节点给解锁，并把新解锁的边考虑在最小生成树里面；新解锁的边两侧没有新结点，则不将新解锁的边考虑在最小生成树里面
-
3）新解锁的结点所有相邻的边被解锁，已经被考虑在最小生成树里的边不重复解锁，然后在所有相邻的边里选择一条权值最小的边，重复步骤 2）周而复始，一直到把所有的点都解锁完
package com.harrison.class11;
import java.util.Comparator;
import java.util.HashSet;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Set;
// undirected graph only
public class Code05_Prim {
public static class EdgeComparator implements Comparator<Edge>{
@Override
public int compare(Edge o1, Edge o2) {
// TODO Auto-generated method stub
return o1.weight-o2.weight;
}
}
public static Set<Edge> primMST(Graph graph){
// 被解锁的边进入小根堆
PriorityQueue<Edge> priorityQueue=new PriorityQueue<>(new EdgeComparator());
// 哪些点被解锁出来了
HashSet<Node> nodeSet=new HashSet<>();
// 已经考虑的边不要重复考虑
HashSet<Edge> edgeSet=new HashSet<>();
// 依次挑选的边放在result里面
Set<Edge> result=new HashSet<>();
// 随便挑选一个点 for循环只是为了防止森林，但一般不会出现无向图的森林
// 所以for循环也可以不要
for(Node node:graph.nodes.values()) {
// node是开始点
if(!nodeSet.contains(node)) {
nodeSet.add(node);
// 由一个点解锁所有相邻的边
for(Edge edge:node.edges) {
if(!edgeSet.contains(edge)) {
edgeSet.add(edge);
priorityQueue.add(edge);
}
}
while(!priorityQueue.isEmpty()) {
// 弹出解锁的边中，最小的边
Edge edge=priorityQueue.poll();
// 新解锁的边两侧可能有新结点（也就是说可能的一个新的点）
Node toNode=edge.to;
if(!nodeSet.contains(toNode)) {
// 不含有的时候，就是新的点
nodeSet.add(toNode);
result.add(edge);
for(Edge nextEdge:toNode.edges) {
// 依次解锁相邻的边
if(!edgeSet.contains(nextEdge)) {
edgeSet.add(nextEdge);
priorityQueue.add(nextEdge);
}
}
}
}
}
break;
}
return result;
}
}
Dijkstra
给你一个出发点，求出发点到所有结点的最短距离是多少？如果无法到达某个点，则到这个点的距离是正无穷（一般出现在有向图里面）。
不能有权值为负数的边！！！
package com.harrison.class11;
import java.util.HashMap;
import java.util.HashSet;
import java.util.Map.Entry;
// no negative weight
public class Code06_Dijkstra {
public static HashMap<Node, Integer> dijkstra1(Node from) {
/**
* from 从from点出发到所有点的最小距离 key：从from出发到达key value：从from出发到达key的最小距离
* 如果在表中，没有T的记录，则代表从from点出发到达T这个点的距离为正无穷
*/
HashMap<Node, Integer> distanceMap = new HashMap<>();
distanceMap.put(from, 0);
// 已经求过距离的结点，存在selectedNodes中，以后再也不碰
HashSet<Node> selectedNodes = new HashSet<>();
Node minNode = getMinDistanceAndUnselectedNode(distanceMap, selectedNodes);
while (minNode != null) {
int distance = distanceMap.get(minNode);
for (Edge edge : minNode.edges) {
Node toNode = edge.to;
if (!distanceMap.containsKey(toNode)) {
distanceMap.put(toNode, distance + edge.weight);
} else {
distanceMap.put(edge.to, Math.min(distanceMap.get(toNode), distance + edge.weight));
}
}
selectedNodes.add(minNode);
minNode = getMinDistanceAndUnselectedNode(distanceMap, selectedNodes);
}
return distanceMap;
}
public static Node getMinDistanceAndUnselectedNode(HashMap<Node, Integer> distanceMap, HashSet<Node> touchedNodes) {
Node minNode = null;
int minDistance = Integer.MAX_VALUE;
for (Entry<Node, Integer> entry : distanceMap.entrySet()) {
Node node = entry.getKey();
int distance = entry.getValue();
if (!touchedNodes.contains(node) && distance < minDistance) {
minNode = node;
minDistance = distance;
}
}
return minNode;
}
public static class NodeRecord {
public Node node;
public int distance;
public NodeRecord(Node node, int distance) {
this.node = node;
this.distance = distance;
}
}
public static class NodeHeap {
private Node[] nodes; // 实际的堆结构
// key 某一个node， value 上面堆中的位置
private HashMap<Node, Integer> heapIndexMap;
// key 某一个节点， value 从源节点出发到该节点的目前最小距离
private HashMap<Node, Integer> distanceMap;
private int size; // 堆上有多少个点
public NodeHeap(int size) {
nodes = new Node[size];
heapIndexMap = new HashMap<>();
distanceMap = new HashMap<>();
size = 0;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
// 有一个点叫node，现在发现了一个从源节点出发到达node的距离为distance
// 判断要不要更新，如果需要的话，就更新
public void addOrUpdateOrIgnore(Node node, int distance) {
if (inHeap(node)) {
distanceMap.put(node, Math.min(distanceMap.get(node), distance));
insertHeapify(node, heapIndexMap.get(node));
}
if (!isEntered(node)) {
nodes[size] = node;
heapIndexMap.put(node, size);
distanceMap.put(node, distance);
insertHeapify(node, size++);
}
}
public NodeRecord pop() {
NodeRecord nodeRecord = new NodeRecord(nodes[0], distanceMap.get(nodes[0]));
swap(0, size - 1);
heapIndexMap.put(nodes[size - 1], -1);
distanceMap.remove(nodes[size - 1]);
// free C++同学还要把原本堆顶节点析构，对java同学不必
nodes[size - 1] = null;
heapify(0, --size);
return nodeRecord;
}
private void insertHeapify(Node node, int index) {
while (distanceMap.get(nodes[index]) < distanceMap.get(nodes[(index - 1) / 2])) {
swap(index, (index - 1) / 2);
index = (index - 1) / 2;
}
}
private void heapify(int index, int size) {
int left = index * 2 + 1;
while (left < size) {
int smallest = left + 1 < size && distanceMap.get(nodes[left + 1]) < distanceMap.get(nodes[left])
? left + 1
: left;
smallest = distanceMap.get(nodes[smallest]) < distanceMap.get(nodes[index]) ? smallest : index;
if (smallest == index) {
break;
}
swap(smallest, index);
index = smallest;
left = index * 2 + 1;
}
}
private boolean isEntered(Node node) {
return heapIndexMap.containsKey(node);
}
private boolean inHeap(Node node) {
return isEntered(node) && heapIndexMap.get(node) != -1;
}
private void swap(int index1, int index2) {
heapIndexMap.put(nodes[index1], index2);
heapIndexMap.put(nodes[index2], index1);
Node tmp = nodes[index1];
nodes[index1] = nodes[index2];
nodes[index2] = tmp;
}
}
// 改进后的dijkstra算法
// 从head出发，所有head能到达的节点，生成到达每个节点的最小路径记录并返回
public static HashMap<Node, Integer> dijkstra2(Node head, int size) {
NodeHeap nodeHeap = new NodeHeap(size);
nodeHeap.addOrUpdateOrIgnore(head, 0);
HashMap<Node, Integer> result = new HashMap<>();
while (!nodeHeap.isEmpty()) {
NodeRecord record = nodeHeap.pop();
Node cur = record.node;
int distance = record.distance;
for (Edge edge : cur.edges) {
nodeHeap.addOrUpdateOrIgnore(edge.to, edge.weight + distance);
}
result.put(cur, distance);
}
return result;
}
}