题目概要：
给定一段钢条，和不同长度的价格，问如何切割使得总价格最大。
ex ：
为了求解规模为 n 的原问题，我们先求解形式完全一样，但规模更小的子问题。 即当完成首次切割后，我们将两段钢条看成两个独立的钢条切割问题实例。 我们通过组合相关子问题的最优解，并在所有可能的两段切割方案中选取组合收益最大者，构成原问题的最优解。
最优子结构：
问题的最优解由相关子问题的最优解组合而成，而这些子问题可以独立求解。
动态规划的两种实现方法：
带备忘的自顶向下法（记忆化搜索）。
自底向上法（将子问题按规模排序，类似于递推）。
算法导论用子问题图上按照逆拓扑序求解问题，引出记忆化搜索。
重构解（输出方案）：转移的时候记录最优子结构的位置。
除了动态规划的方法还有递归求解的方法。
附上代码：
注意看注释
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int n;
int w[N];
int r[N]; //记录切割子值的最大价值
int dp[N];
int test1(int n)// 自顶向下递归
{
int res=-1;
if(n==0)return 0;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
res=max(res,w[i]+test1(n-i));
}
return res;
}
int test2(int n)// 自顶向下 记忆化 递归搜索
{
memset(r,-1,sizeof r);
int res=-1;
if(r[n]!=-1)return r[n]; //之前算过的直接return，记忆的优化
if(n==0)return r[n]=0; //记得特殊情况判出
for(int i=1; i<=n; i++)
{
res=max(res,w[i]+test2(n-i));
}
return r[n]=res; //直接在return的时候记忆。
}
int test3(int n) //自底向上的动态规划
{
memset(r,0,sizeof r);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
int res=0;
for(int j=1; j<=i; j++)
{
res=max(res,w[j]+r[i-j]);
}
r[i]=res;
}
return r[n];
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1; i<=n; i++)cin>>w[i]; //不同长度的价值;
//三种方法
cout<<test1(n)<<endl;
cout<<test2(n)<<endl;
cout<<test3(n)<<endl;
return 0;
}
/*
10
1 5 8 9 10 17 17 20 24 30
*/
1.自顶向下递归
递归的意义就是递归成子问题，子问题再分解成子问题的子问题，再利用递归回的值返回到原问题，但是递归的方式是化成小问题，但是小问题的数量和不记忆使得递归的时间较长，效率过低，而且是从上到下递归，没有记忆化，但是在数据范围较少时，可以使用，代码比较好想一些。
2.自顶向下 记忆化 递归搜索
故名思意，带了一个记忆化，但是递归的话还是比较慢，这算是对递归的一个优化。
3.自底向上动态规划
通过小状态来递推出大状态，并且记忆，使得整个过程较快，并且做到了有记忆。