【题解】AcWing 97.约数之和

AcWing 97.约数之和

题目描述

假设现在有两个自然数 $A$ 和 $B$，$S$ 是 $A^B$ 的所有约数之和。

请你求出 $Smod9901$ 的值是多少。

输入格式

在一行中输入用空格隔开的两个整数 $A$ 和 $B$。

输出格式

输出一个整数，代表 $Smod9901$ 的值。

数据范围

$0\le A,B\le 5\times 10^7$

输入样例

2 3

输出样例

15

注意： $A$ 和 $B$ 不会同时为 $0$。

题目分析

设 $A$ 可以分解质因数为：$A={a_1}^{i_1}\ast {a_2}^{i_2}\ast \dots \ast {a_n}^{i_n}$，那么 $C=A^B={a_1}^{B\ast i_1}\ast {a_2}^{B\ast i_2}\ast \dots \ast {a_n}^{B\ast i_n}$，根据乘法原理知 $C$ 的约数之和 $S=(1+a_1+{a_1}^2+\dots +{a_1}^{B\ast i_1})\ast (1+a_2+{a_2}^2+\dots +{a_2}^{B\ast i_2})\ast \dots \ast (1+a_n+{a_n}^2+\dots +{a_n}^{B\ast i_n})$。上面的每个括号内都是等比数列，如果直接等比数列求和要用除法，但取模运算只对加、减、乘有分配律，不能直接对除法中的分子、分母取模后再做除法。因此，我们需要换一种方法对等比数列求和。

设 $sum(a,i)=1+a+a^2+\dots +a^i$发现如下性质：
若 $i$ 为奇数，那么
$sum(a,i)$
$=(1+a+\dots +a^{\frac{i-1}{2}})+(a^{\frac{i+1}{2}}+\dots +a^i)$
$=(1+a^{\frac{i+1}{2}})\ast sum(p,\frac{i-1}{2})$
类似地，若 $i$ 为偶数，那么 $sum(a,i)=(1+a^{\frac{i}{2}})\ast sum(p,\frac{c}{2}-1)+a^i$
运用分治思想与快速幂，可以在 $O(logc)$ 的复杂度内求出等比数列的和。

代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MOD = 9901;
int x, y;

int quick_pow(int a, int b){
    
    
    a %= MOD;
    int res = 1;
    while (b){
    
    
        if (b & 1) res = res * a % MOD;
        a = a * a % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int sum(int a, int b){
    
    
    if (!b) return 1;
    if (b & 1) return (1 + quick_pow(a, (b + 1) / 2)) * sum(a, (b - 1) / 2) % MOD;
    else return ((1 + quick_pow(a, b / 2)) * sum(a, b / 2 - 1) + quick_pow(a, b)) % MOD;
}

int result(int a, int b){
    
    
    int res = 1;
    for (int i = 2; i <= a; i ++){
    
    
        int num = 0;
        while (a % i == 0){
    
    
            num ++;
            a /= i;
        }
        if (num) res = res * sum(i, b * num) % MOD;
    }
    return res;
}

int main(){
    
    
    cin >> x >> y;
    if (!x) cout << 0;
    else cout << result(x, y);
    return 0;
}