【题解】AcWing 246.区间最大公约数

AcWing 246.区间最大公约数

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数列 $A$，以及 $M$条指令，每条指令可能是以下两种之一：

1. C l r d，表示把 $A[l],A[l+1],\dots ,A[r]$ 都加上 $d$。
2. Q l r，表示询问 $A[l],A[l+1],\dots ,A[r]$ 的最大公约数(GCD)。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

输入格式

第一行两个整数 $N,M$。

第二行 $N$ 个整数 $A[i]$。

接下来 $M$ 行表示 $M$ 条指令，每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式

对于每个询问，输出一个整数表示答案。每个答案占一行。

数据范围

$N\le 500000,M\le 100000$,
$1\le A[i]\le 10^{18}$,
$|d|\le 10^{18}$。

输入样例

5 5
1 3 5 7 9
Q 1 5
C 1 5 1
Q 1 5
C 3 3 6
Q 2 4

输出样例

1
2
4

题目分析

根据《九章算术》中的“更相减损术”，我们知道 $gcd(a,b)=gcd(a,a-b)$。再根据数学归纳法，我们可以得到更一般的结论：$gcd(a_1,a_2,\dots ,a_n)=gcd(a_1,a_2-a_1,\dots ,a_n-a_{n-1})$。

不难发现，这里的 $a_2-a_1,\dots ,a_n-a_{n-1}$ 是差分的形式。因此，我们可以构造原数组的差分数组 $b$，用线段树维护数组 $b$ 的最大公约数。这样一来，区间修改变成了两次单点修改，区间查询也变成了 $gcd(a[l],query(1,l+1,r))$。

对于差分数组的维护，既可用树状数组，也可线段树直接维护。这里直接用线段树维护区间和从而维护差分。

代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N = 500010;
typedef long long ll;

ll a[N], n, m;

struct node{
    
    
	int l, r;
	ll sum, g;  //维护区间和与区间gcd 
}tr[N * 4]; 

ll gcd(ll a, ll b){
    
    
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void pushup(node &u, node &l, node &r){
    
    
	u.sum = l.sum + r.sum;
	u.g = gcd(l.g, r.g); 
}

void pushup(int u){
    
    
	pushup(tr[u], tr[u << 1], tr[u << 1 | 1]);
}

void build(int u, int l, int r){
    
    
	if (l == r){
    
    
		ll b = a[r] - a[r - 1];
		tr[u] = {
    
    l, r, b, b};
	}
	else{
    
    
	    tr[u].l = l, tr[u].r = r;
		int mid = l + r >> 1;
		build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
		pushup(u);
	}
} 

void modify(int u, int x, ll d){
    
    
	if (tr[u].l == x && tr[u].r == x){
    
    
		ll b = tr[u].sum + d;
		tr[u] = {
    
    x, x, b, b};
	}
	else{
    
    
		int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
		if (x <= mid) modify(u << 1, x, d);
		else modify(u << 1 | 1, x, d);
		pushup(u);
	}
}

node query(int u, int l, int r){
    
    
	if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u];
	else{
    
    
		int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
		if (r <= mid) return query(u << 1, l, r);
		else if (l > mid) return query(u << 1 | 1, l, r);
		else{
    
    
			node left = query(u << 1, l, r), right = query(u << 1 | 1, l, r);
			node res;
			pushup(res, left, right);
			return res;
		}
	}
}

int main(){
    
    
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i ++)
		cin >> a[i];
	
	build(1, 1, n);	
	
	while (m --){
    
    
		char opt[2];
		int l, r;
		ll d;
		cin >> opt >> l >> r;
		if (* opt == 'C'){
    
    
			cin >> d;
			modify(1, l, d);
			if (r + 1 <= n) modify(1, r + 1, -d);
		}
		else{
    
    
			node left = query(1, 1, l);
			node right;
			if (l + 1 <= r) right = query(1, l + 1, r);
			cout << abs(gcd(left.sum, right.g)) << endl;
		}
	}
	return 0;
}