图形学笔记（九）几何 ——几何表示方法（CSG、距离函数、水平集 、点云、网格（obj格式））、贝塞尔曲线（面）
图形学笔记（十一）光线追踪——Shadow Mapping、光线追踪、光线投射、软硬阴影、光线与物体交点、AABB包围盒
常见的曲面操作有如下三种，本文将主要对曲面细分和曲面简化进行介绍。
- 曲面细分（Mesh Subdivision）
- 曲面简化（Mesh Simplification）
- 曲面正则化（same triangles）
让每个三角形更像正三角形。
文章目录
1 曲面细分
细分一般都要先加点，然后再调整点的位置。
1.1 Loop细分
Loop细分一般有两步操作：
- 把三角形数量增多。
- 改变三角形位置，让模型看上去更光滑。
1.1.1 Loop细分算法
- 把每个三角形分成4个。
- 根据权重分配新的顶点（新顶点和旧顶点的调整方式不同）。
更新新的顶点的方法 比如按照如下方式更新图中白点，白点是对周围几个面的平均，AB离得比CD近，所以权重大。
更新旧顶点的方法 根据自己原本的位置和自己周围顶点的位置来进行加权平均，如下所示（n是顶点度数）。
1.1.2 Loop细分结果
1.2 Catmull-Clark细分（General Mesh）
Loop细分只能解决三角形网格的细分问题，对于一般的情况可以采用Catmull-Clark细分。
1.2.1 基本概念
非四边形面（Non-quad face）：顾名思义。
奇异点（Extraordinary vertex）：度数不为4的点。
1.2.2 Catmull-Clark细分算法
1）增加新点
- 取每个面的一个点（比如重心）
- 取每个边的中点
- 将所有新添加的点做连接
- 在一次细分后会引入两个新的奇异点。
- 新奇异点的度数为3，其他奇异点的度数不变。
- 经过一次细分，所有非四边形面会消失。
- 细分之后，每个非四边形面都会变成一个奇异点（以后再细分奇异点和非四边形面都不会发生变化了）。
2）调整规则
对于新增的点，面上的点和边上的点位置更新规则如下：
对于旧的点：
1.2.3 Catmull-Clark细分结果
2 曲面简化
目标：减少三角形的数量并保留整体的形状。
2.1 基本概念
2.1.1 边坍缩（Collapsing An Edge）
2.1.2 二次误差度量（Quadric Error Metrics）
- 它用来表示曲面简化带来的误差的大小。
- 用局部顶点做平均效果是不好的。
- 二次误差：新的点应该使与它相关联的面的平方和达到最小。
2.2 通过二次误差来进行边坍缩
- 假设坍缩每一条边，然后分别得到它们的二次误差。 做为各自的分数。
- 每次都折叠分数最小的边，然后更新被影响边的分数。
- 使用贪心算法就可以得到不错的结果。
