图形学笔记（五）光栅化——屏幕、像素、屏幕空间、视口变换、基础图元与三角形、采样、包围盒、锯齿或走样

图形学笔记（四）变换——三维变换（三维旋转与欧拉角）、MVP变换、视图变换、投影变换（正交投影与透视投影）
图形学笔记（六）光栅化2 —— Artifacts、时域与频域、滤波、卷积定理、超采样、MSAA

在上一节中我们通过MVP变换将所有物体都映射到了经典立方体中（$[-1,1{]}^3$）。
接下来，我们又要如何把立方体画到屏幕上呢？

1 基本概念

1.1 什么是屏幕（Screen）

• 屏幕是像素的二维数组（pixel），数组的大小被称为分辨率（resolution）
• 屏幕是一个典型的光栅（raster）成像设备

1.2 光栅化（Raster）

• 光栅（Raster）就是德语中的屏幕。
• 光栅化（Rasterize）就是把东西画在屏幕上的过程。

1.3 像素（Pixel）

• 像素是图片单元（picture element）的简写。
• 暂时把像素当作一个只带有一种颜色的小方块（颜色是rgb（红绿蓝0-255）的混合）。

1.4 屏幕空间（Screen-Space）

屏幕空间就是在屏幕上建立一个坐标系（左下角是原点）。

有以下一些约定：

• 像素的坐标写成（x，y）的形式。
• 像素坐标的范围是从（0，0）到（width-1，height-1）的。
• 像素（x，y）的中心是（x+0.5,y+0.5）。
• 屏幕的覆盖范围是从（0，0）到（width，height）的。

2 视口变换

想把立方体的内容在屏幕上绘制出来，首先我们要把经典立方体映射到屏幕，即进行以下的过程：

• 忽略z
• 把xy平面上的$[-1,1{]}^2$转化（进行缩放和平移）成[0,width] X [1,height]（这个过程也称为视口变换）

视口变换矩阵：

经过上面的步骤，我们就确定了屏幕上一些边界点的坐标，接下来我们就要把轮廓内的东西画到屏幕上来进行显示。
接下来介绍将三角形光栅化为像素的过程。

3 三角形 - 基础图元

3.1 为什么是三角形是基础图元？

因为三角形有很多优势：

1. 三角形是最基础的多边形

• 可以把其他多边形打碎成三角形

2. 具有独特的属性

• 三角行肯定是个平面（planar）（不想四边形一弯折顶点就可以在不同的平面中了）
• 内部容易区分（通过叉积可以快速判断点是否在三角形内，判断方法可以回顾第二节的内容）

如图所示，$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AP}>0$，说明P在AB的左边， $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BP}>0$，说明P在BC的左边 ，$\overrightarrow{CA}\times \overrightarrow{CP}>0$ ，说明P在CA的左边。

如果进行三个叉积运算的结果都为正或都为负，表明点都在三角形边的左边或者都在右边，故说明P在三角形内部。
否则说明点在三角形外面。

• 方便不同的属性进行插值（从一个顶点到另一个顶点内部属性的变化）

3.2 使用像素来表示一个三角形

经过MVP变换和视口变换就可以得到三角形三个顶点的坐标，接下来要将这个坐标转化为像素的集合。
这个过程的输入是三角形顶点投影到屏幕上的位置，输出是像素值的集合，如下图所示。

根据上图我们很容易得到，三角形内部的点一定是要染色的，可是三角形边缘的点怎么办呢？
我们可以通过采样等方式来判断像素（中心点）与三角形的位置关系（在内还是在外？），进而判断边缘的点是否该被染色。

4 光栅化的方法——采样

4.1 定义与理解

定义：把函数离散化的过程。
如下所示，现在有某连续函数，对于很多离散的点去应用这个函数，并计算相应的输出值。

4.2 采样过程

对屏幕进行采样来判断像素的中心是否在三角形内。

（1）定义函数inside(tri,x,y)（1就是染色，0就是不染色）
$$inside(t,x,y)=\{\begin{array}{rlr}& 1& (x，y)处在三角形t内\\ & 0& (x，y)不在三角形t内\end{array}$$
（2）对屏幕的所有像素来进行采样，代码如下所示：

（3）边界情况

对于边界情况，可以做处理也可以不做处理。
比如我们可以认为，下面的每种说法都是对的

1. 图中的点在三角形1内
2. 图中的点在三角形2内
3. 图中的点在三角形1和三角形2内
   

4.3 三角形的包围盒（Bounding Box）

包围盒就是圈定三角形顶点的xy最小值和最大值的范围。

引入包围盒后，我们不用遍历整个屏幕只要判断包围盒内的点即可。

5 光栅化的加速方法

以下是一种遍历的加速方法。

如图所示从顶点开始，对每一行都有左和右的包围盒，不再多考虑别的像素。

适合比较窄的和旋转的三角形。

6 光栅化的问题——锯齿（Jaggie）或走样（Aliasing）

如图所示，直接栅格化后，边界并不像一个三角形。

原因：像素本身有大小

所以要进行抗锯齿和反走样。