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题目
在例4.4中，如果噪声样本是不相关的，当方差不相等，即：
求
，解释你的结果。如果某个
,那么
怎样。
解答：
1. 噪声样本不相关时，白化矩阵具体定义：
要使用线性模型中的MVU估计量式（4.5），并得到相应的方差式（4.6），需要确保其中的噪声具有统计特性：
此时噪声的自相关矩阵为对角阵，且互不相关。
如果达不到此条件，即此时噪声仅满足：
其中C不是对角矩阵，也就是噪声之间不满足不相关条件，那么首先要根据4.5节，构建白化矩阵D，使得：
此时将原来的采集序列
变化到
,使得：
然后再处理。
书中没有明确矩阵D到底是什么形式，我们首先进行推导：
当
为正定矩阵时，一定能将表示为：
其中：
为特征值
对应的特征向量，且存在
，即
关于正定矩阵C的分解，具体可以参考：
因此：
如果定义矩阵：
其中：
那么显然存在：
因此，我们找到了采集序列
的协方差矩阵
为正定时，对应白化矩阵D的形式，即：
此时，将
进行序列变化后，得到：
此时变换后的协方差矩阵，可以表示为
因此，经过白化矩阵D变换后的序列，满足协方差矩阵为单位矩阵的条件，因此变换后的序列间不相关。
2. 计算dn
根据题目条件，此时C为对角阵，但不是单位矩阵。根据上述分析，可以得到：
因此：
此时，根据公式（4.27）中定义：
其中：
那么：
因此：
此时，由于C已经是对角矩阵，但是对角线上的元素不同，因此，进一步白化处理后：
也就是：
因此，当
时，变换后的
方差为：
完成了方差的归一化，使得变换后的数据，协方差矩阵为单位矩阵。
3. 某个采样值方差为0时的估计量讨论
而估计
可以表示为：
因此，第n个采集数据在变换后对整个
的具体贡献值为：
此时，如果具体第m个元素，存在
,此时上述每个元素，只要
，都有：
而对于其中第m个元素：
因此，可以得到，当
时，
换句话说：如果一组采集数据中互不相关，但方差不相同，那么白化归一化后，加权平均到最终的估计量时，方差越大的样本折算的值越小，而方差越小的样本折算的值越大。
而实际情况中：如果第m个元素如果真的存在
，也就是该采集数值无方差，那么显然抛弃其他带方差的结果，直接用：
可以达到最好的效果。