统计信号处理基础 习题解答4-5

题目：

证明：对于 ，

利用

且

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解答：

如果令：

 那么

 得到：

 因此只需要分别求出上述两个三角函数级数的和，就可以证明此题目

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方法1：根据三角函数级数性质

由公式：

 其中，

显然

而由于：

因此，

 同理，而当 时

而

因此， 时：

但 时：

 因此最终：

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方法二：根据欧拉函数及e指数级数性质

如果记：

那么：

 得到：

因此：

而当 分别为 和 ，代入可以得到：

 因此，也可以得到：

 上述三角函数级数求和公式证明可以参考：

∑sinkx 和 ∑coskx 的求和公式的证明 - 简书

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 最终，可以得到书中公式（4.13），同时也证明了离散傅里叶变换观测矩阵H各列之间的正交性。