题目:
在例3.4证明中,用到了:
要使上式成立, 应该满足什么条件?提示:注意
并利用几何级数求和公式。
解答
根据欧拉公式可以得到:
那么:
其中:
因此:
如果记:
那么
因此:
得到:
于是:
对于上述函数,我们可以如下考虑,首先 为信号的归一化频率,可以表示为:
其中 为信号的真实频率,而
为采用频率,那么根据奈奎斯特采样定理,得到:
又因为
因此,主要考虑
在 下的特性。
我们分别给出了N=5,10,20,50, 情况下的
取值情况:
图1 N=5
图2 N=10
图3 N=20
图4 N=50
观察上述情况下的取值,我们可以得到:
1. 不管N的取值情况,当 接近0或者接近
时,
趋近于1,此时
不能忽略;
2. 函数会在
,
,…,
这些情况下为0;
3. 随着N增多, 在
区间上取值为0的节点增多
4. 当N等于10的时候,该函数在 附近处大部分区域都小于0.2;
5. 当N等于20的时候,该函数在 附近处大部分区域都小于0.1;
6. 当N等于50的时候,该函数在附近处大部分区域都小于0.05;
因此,我们可以得到结论,当归一化 不在0或者不在
附近时: