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1. 标量无偏估计无参数变换时的CRLB定理
如果要从采集到的一组观测量数据：
并利用概率密度函数
(此时该函数被称为似然函数)去估计未知参数
。如果
满足正则条件，即：
那么对于参数
的任意无偏估计
的方差，满足：
其中：
2. 标量无偏估计有参数变换时的CRLB定理
如果要从采集到的一组观测量数据：
并利用
估计未知参数
，且
满足正则条件，此时对于参数的任意无偏估计
的方差，满足CRLB定理，即：
那么参数
经过函数
变化后的参数
的任意无偏估计
的方差满足：
其中：
3. 标量无偏估计有参数变换时的CRLB证明
首先由于是无偏估计，因此存在：
将上式对
进行一阶偏导，可以得到：
除了PDF非零域与未知参数
有关，那么一般可以对上式中的导数与积分互换。可以得到：
而
中应该只包含采集数据信息，而不包含未知参数
，因此可以得到：
利用对数函数求导的性质，即：
上式转换为：
而由正则条件可以得到：
那么两边都乘系数
，得到：
因此，两式相减之后可以得到：
为了能够利用Cauchy-Schwarz不等式，即：
且由于概率密度都大于等于0，因此将上式可以拆分为：
那么利用Cauchy-Schwarz不等式可以得到：
其中：
因此最终可以得到：
证明完毕。
3. 参数变化后CRLB的具体应用案例与讨论
3.1 用于直接得到参数无变换时的CRLB公式
作为一种简化的参数变化形式，即：
此时就是参数无变换的特殊情况，带入公式，得到：
这个结果与标量无偏估计的一致，因此参数无变化情况下的CRLB是参数变换CRLB的一种特殊情况。《统计信号处理基础-估计与检测理论》书中附录3A也仅对参数变化后的CRLB定理进行了证明。
3.1.1 例子
用万用表观察直流信号，采集到的数据为：
其中：
现在用如下方法估计直流电平
：
那么由：
得到：
因此：
又因为：
因此无偏估计
还达到了CRLB下限，因此
还是最小方差无偏估计。
3.2 参数线性变换后的CRLB
已知参数θ，其无偏估计
的CRLB为
，那么参数θ线性变换过得到参数α，一般形式可以表示为：
当选择估计量为：
可以得到：
显然，参数线性变换后的估计量，仍然是无偏的。
通过参数变换后的CRLB公式，可以得到
的任意无偏估计方差满足：
如果
能达到CRLB下限，即：
那么进一步可以得到：
另外，由于：
因此当估计参数能够达到CRLB下限时，参数线性变换后的也能达到CRLB下限。
于是可以得到结论：参数线性变换能够保持估计量的有效性。
3.2.1 例子
结合上面的例子，如果信号
经过了一个增益为m的理想线性放大器，即：
而在放大器的输入端，测得：
且根据上述分析有：
那么经过理想线性放大器之后的输出信号估计的方差满足：
又由于上例中的
为最小方差无偏估计，因此：
那么存在：
观察后发现，参数线性变换后的
，也是最小方差无偏估计，线性变换维持了估计参数的有效性。
3.3 参数非线性变换后的CRLB
已知参数
，其无偏估计
的CRLB为
，那么参数
非线性变换过后得到参数
。非线性变换的形式比较多，例如：
那么按照参数变换的CRLB公式，任意估计
的方差满足：
3.3.1 例子
仍然用上面万用表采集直流信号的例子，现在如果估计该直流信号的功率，再已知
且信号功率的参数变换为：
那么：
结合上述例子，存在：
因此：
而又由于：
得到：
因此
不是无偏估计，也就是非线性变换，破坏了原估计量的有效性。