给定一个正整数 n，将其拆分为至少两个正整数的和，并使这些整数的乘积最大化。 返回你可以获得的最大乘积。
示例 1:
输入: 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:
输入: 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。
数学方式证明
核心： 尽量分出更多的 3
首先，通过均值不等式，很容易验证当每一个拆分值都相等的时候，才具有最大值，所以实际上就是将这个数均分。那么，对于整数 a ，我们将其分解成 n 份，每一份为 x 则有
则相乘结果为：
其中：
的极值点为e，最接近的也就是 3 了。（注意：这里是整数，如果是实数，该证明则有漏洞）
int integerBreak(int n){
if(n < 1) return 0;
if(n == 2) return 1;
if(n == 3) return 2;
int rst = 1;
int times = n / 3;
int left = n % 3;
if(left == 0){
while(times--) rst *= 3;
}else if(left == 1){
while(times > 1){
rst *= 3;
times--;
}
rst *= 4;
}else{
while(times--) rst*= 3;
rst *= 2;
}
return rst;
}
动态规划经典解法
dp[i],思考dp[i]，可以想象在其范围内，我们先已经拆出来一个j,从[1...j]作为一个整体1，见下图情景1，剩下的部分也就是[j+1....i],可以有两种选择
- 继续当成一个整体，为整体2，其值为
i-j, 显然dp[i] = j * (i−j) - 继续拆分，但是我们也不知道能拆分成多少份，但是我们不管，拆分的结果就是
dp[i−j]（再读一遍状态的定义），见下图情景2，dp[i] = j * dp[i-j]
因此 dp[i] = j * max(i-j,dp[i-j])
class Solution {
public:
int integerBreak(int n) {
int dp[59];
dp[0] = 0;
dp[1] = 0;
dp[2] = 1;
int temp;
for(int i = 3; i <= n; i++){
temp = 0;
for(int j = 1; j < i; j++){
temp = max(temp, max(j*(i-j), j*dp[i-j]));
}
dp[i] = temp;
}
return dp[n];
}
};