Codeforces Round #597 (Div. 2) E Hyakugoku and Ladders(概率DP)

题目链接：https://codeforces.com/contest/1245/problem/E

题目大意：

  一个10*10矩阵，左下角起点，左上角终点，按照S型前进，每次通过扔骰子确定行走步数，1~6概率相同，到最后只剩1~6的时候只能正好扔到所需点数才能到达。同时如果遇到梯子的话可以沿着梯子爬上去，问到达终点的期望步数。

题目思路：

  设1为终点，100为起点，$id[x][y]$表示$(x,y)$坐标的编号。$a[x]$表示x编号可以靠它那个位置的梯子到达哪个位置。
  这题相较于普通的概率DP有两点不同，一个是最后六步必须正好到，一个是可以坐梯子。首先可以发现，在终点肯定不用动就在终点，所以dp[1]=0,终点的期望是确定的，所以需要从终点向起点倒推。同时最后六步需要计算。这六步到达终点的期望步数，要么是$\frac{1}{6}$的概率直接到终点，要么是$\frac{5}{6}$概率原地踏步，所以得到公式：
$$f(x)=\frac{5}{6}\ast (f(x)+1)+\frac{1}{6}\ast (f(1)+1)$$
  由于$f(1)=0$，代入整理得到:
$$f(x)=6$$
  所以最后六步期望就是固定的6。然后就是dp转移，枚举1~6作为走的步数，设为j，假设他当前在第i个点，那么他可能是i-j来的，当然也可能是i-j能爬上去的那个梯子的位置过来的(这里要注意，咱是倒推！)所以取个min继续推导即可。

以下是代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define ll long long
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
const int MAXN=1e2+5;
const int MOD=1e9+7;
int id[MAXN][MAXN],a[MAXN];
double dp[MAXN];
int main()
{
    
    
    rep(i,1,10){
    
    
        rep(j,1,10){
    
    
            if(i&1)id[i][j]=(i-1)*10+j;
            else id[i][j]=i*10-j+1;
        }
    }
    rep(i,1,10){
    
    
        rep(j,1,10){
    
    
            int x;
            cin>>x;
            a[id[i][j]]=id[i-x][j];
        }
    }

    dp[1]=0;
    rep(i,2,7)dp[i]=6;
    rep(i,8,100){
    
    
        dp[i]=0;
        rep(j,1,6){
    
    
            dp[i]+=min(dp[i-j],dp[a[i-j]])+1;
        }
        dp[i]=dp[i]/6.0;
    }
    cout<<fixed<<setprecision(10)<<dp[100]<<endl;
    return 0;
}