《算法导论3rd第九章》中位数和顺序统计学

前言

本章如果要归结成一个问题的话，可以归结为选择问题，比如要从一堆数中选择最大的数，或最小的数，或第几小/大的数等。

中位数和顺序统计量

选择问题：给定一个包含n个元素的集合A和一个整数i，1<=i<=n，我们需要得到一个整数x，其中有i-1个元素小于它，即第i个顺序统计量。

• 顺序统计量：在一个n个元素组成的集合中，第i个顺序统计量是该集合中第i小的元素。
• 中位数：它所属集合的“中点元素”。如果集合元素n为奇数，则中位数为(n+1)/2处；如果n为偶数，则中位数出现在n/2（下中位数）和n/2+1（上中位数）处，一般无特殊说明，我们都取下中位数。
• 最大值：第1个顺序统计量。
• 最小值：第n个顺序统计量。

这个问题最直观的解法是通过排序+索引的方式，但排序算法有多种，且时间复杂度略高。我们需要更低时间复杂度来解决这个问题，要求线性时间，即O(n)。

最大值、最小值

同时求最大最小值，采用最直观朴素的解法就能解决。就是一个个比较，时间复杂度O(n)，已经没有比这更优的了。代码如下：

/***********线性时间求最小值************/
int Minimun(int arr[], int n)
{
    
    
    int nMin = arr[0];
    for(int i = 1; i < n; i++)
        //min
        if(nMin > arr[i])
            nMin = arr[i];
        //max
//         if (nMax < arr[i])
//             nMax = arr[i];
    return nMin;
}

按照上述算法，同时求最大最小值，需要2(n-1)次比较，但是换一种思路，我们没必要一个元素比较两次，而是两个元素比较一次，然后得出大小关系，在分别和最大、最小值比较，这样两个元素就只用比较3次，总共就是3/2n次。这里要分奇偶数看待，但不管奇偶，都需要3/2n次。比较次数减少了，时间也就降低了。

练习

9-1

首先，我们先将数组中的元素两两成对比较，共需n/2次比较，那么就有n/2个元素是较小的元素，然后再将这些较小的元素再次两两成对比较，又淘汰一半，重复这样的循环，每次淘汰一半元素直到只剩下1个元素，该元素就是最小元素。

1. 如上图所示，经过的比较次数为S=n/2+n/4+…(n/(2^k)=1) k=lgn S=n-1次。
2. 第2小的元素肯定与最小元素比较过，所以我们采取的方法是，从根结点（最小元素）开始沿着根向叶子结点开始查找等于根节点的子结点A，第二小的元素就应该在与A结点属于同一个父结点的另外一个子结点B上，将B结点上的值给予第二小元素second，这样经过以上方式最坏lgn-1次比较

1-2

即分析3/2n次比较算法。分别从n为奇偶前提出发。

1. 先拿出2元素比较，表示最大，最小，即1次
2. 如果是偶数， 剩下的 3(n-2)/2次比较
3. 如果为奇数，剩下的 3(n-3)/2次比较，外加2次分别和最大最小比较
   

以期望线性时间做选择

一般选择问题：找出数组中第i大的元素。看起来比找最小值要复杂，但实际上两种问题的渐进运行时间相同，都是Θ(n)。Randomized-Select的这个算法很强悍，期望的时间复杂度就能达到O(n)，但最坏情况下的时间复杂度却为O(n^2)。该算法采用的是快速排序章节中的Partition过程来得到划分的中点，如果该中点恰好等于选择的点，则即为所求，否则再在左右两个区间中用同样的方法再次寻找，伪代码如下：

RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)
1  if p = r
2      then return A[p]
3  q ← RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
4  k ← q - p + 1
5  if i = k          ▹ the pivot value is the answer
6      then return A[q]
7  elseif i < k
8      then return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q - 1, i)
9  else return RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i - k)

假设程序RANDOMIZED-SELECT以相等的可能性返回任何元素作为主元,即复杂度为S=n/2+n/4+…n/(2^k)，即O(n)。。具体的复杂度求法，参考书本。

练习

2-1

（略）

2-2

（略）

2-3

RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)
    while true
        if p == r
            return A[p]
        q = RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
        k = q - p + 1
        if i == k
            return A[q]
        if i < k
            r = q
        else
            p = q
            i = i - k
 
 RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
    x = RANDOM(p - 1, r)
    swap A[x] with A[r]
    return PARTITION(A, p, r)

PARTITION(A, p, r)
    x = A[r]
    i = p
    for k = p - 1 to r
       if A[k] < x
           i = i + 1
           swap A[i] with A[k]
    i = i + 1
    swap A[i] with A[r]
    return i           

2-4

每次都选择最大元素作为划分主元，这样就有T(n)=T(0)+T(n-1)+O(n)产生最坏运行时间。

最坏限行时间的选择

Randomized_Select在最坏情况下，时间复杂度为O(n^2).现在来看下最坏情况下复杂度为O(n)，Select算法。基本思想是保证对数组的划分是个好的划分,所以，需要对Partition做一点修改，具体的算法步骤如下

1. 将输入数组的n个元素划分为n/5（上取整）组，每组5个元素，且至多只有一个组有剩下的n%5个元素组成。
2. 寻找每个组织中中位数。首先对每组中的元素（至多为5个）进行插入排序，然后从排序后的序列中选择出中位数。
3. 对第2步中找出的n/5（上取整）个中位数，递归调用SELECT以找出其中位数x。（如果是偶数去下中位数）
4. 调用PARTITION过程，按照中位数x对输入数组进行划分。确定中位数x的位置k。
5. 如果i=k，则返回x。否则，如果i<k，则在地区间递归调用SELECT以找出第i小的元素，若干i>k，则在高区找第(i-k)个最小元素。
   

如上图，即大于x的元素个数至少有：
$$3(\lceil \frac{1}{2}\lceil \frac{n}{5}\rceil \rceil -2)\ge \frac{3n}{10}-6$$
同样，小于x的元素也至少有3n/10 - 6；因此在第5步，最坏情况有$\frac{7n}{10}+6$ 个元素递归调用Select.进而可以得到其递归式为：

运用代入法，我们可以得到其时间复杂度为O(n).

练习

3-1在算法SELECT中，输入元素被分为每组5个元素。如果它们被分为每组7个元素，该算法仍然会是线性时间吗？证明：如果分成每组3个元素，SELECT的运行时间不是线性的。

3-2分析SELECT，并证明：如果n≥140，则至少ceil(n/4)个元素大于中位数的中位数x,至少ceil(n/4)个元素小于x？

3-3 假设所有元素都是互异的，说明在最坏情况下，如何才能使快速排序的运行时间为Ο(nlgn)?

快速排序对主元的划分决定了其运行时间，如果最坏是Ο(nlgn)，那么就不允许出现极端划分情况。我们可以使用Select算法的思路，选中位数作为主元的方法来避免极端情况的发生。

3-4 假设对一个含有n个元素的集合，某算法只用比较来确定第i小的元素。证明：无需另外的比较操作，它也能找到比i小的i-1个元素和比i大的n-i个元素。

因为在SELECT函数查找第i个元素时，那么就会以这个元素作为主元对整个数组进行划分，低区的i-1个元素肯定都是小于主元的，高区n-i个元素肯定都是大于主元的。

3-5 假设已经有了一个用于求解中位数的“黑箱”子程序，它在最坏情况下需要线性运行时间。写出一个能解决任意顺序统计量的选择问题的线性时间算法。

使用“黑箱”子程序找到中间值。然后利用中间值根据选择问题，依次递归查找，即可。

3-6 对一个含有n个元素的集合来说，所谓k分位数（the kth quantile），就是能把集合分成k个大小相等的集合的k-1个顺序统计量。给出一个能输出某一集合的这k-1个顺序统计量的O(nlgk)时间的算法。

理解题目的意思，找到k-1个集合，这里并没有要求集合是里面是排序的，用Select的方式，将大集合一直二分。

3-7 给出一个O(n)时间的算法，在给定一个有n个不同数字的集合S以及一个正整数k≤n后，它能确定出S中最接近其中位数的k个数

如果给出在线性时间内的算法，那么可能要用到最坏为线性时间的查找第i小元素的子程序SELECT。我们先找到这n个数的中位数，然后以此中位数为中心，左边距离中位数k/2个远的位置是这k个数的左端点，右边距离中位数k/2个远的位置是这k个数的右端点。用SELECT函数找到这三个数（中位数，左边距离中位数k/2的数，右边距离中位数k/2的数）就可以确定最接近其中位数的k个数

3-8 设 x[1…n]和Y[1…n]为两个数组，每个都包含n个已排序的数。给出一个求数组X和Y中所有2n个元素的中位数的O(lgn)时间的算法。

主要思路参考《漫画：如何找到两个数组的中位数？》

MEDIAN(X, Y, n)
    if n == 1
        return min(X[1], Y[1])
    if X[n / 2] < Y[n / 2]  
        return MEDIAN(X[n / 2 + 1..n], Y[1..n / 2], n / 2)
    return MEDIAN(X[1..n / 2], Y[n / 2 + 1..n], n / 2)

3-9

（略）

主要参考

《算法导论第九章中位数和顺序统计量（选择问题）》
《算法导论第九章课后答案》
《Medians and Order Statistics》