寒假：Day6

Day6

最长公共子序列

状态表示：$f[i,j]$ 所有从 $A[1.....i]$ 与 $B[1.....j]$ 的公共子序列的集合
$$集合划分=\{\begin{array}{ccc}A[i]包含，B[j]包含& & (f[i-1,j-1]+1)\\ A[i]包含，B[j]不包含& & (f[i,j-1])\\ A[i]不包含，B[j]包含& & (f[i-1,j])\\ A[i]不包含，B[j]也不包含& & (f[i-1,j-1])\end{array}$$
所以可得状态转移方程：
$$f[i,j]=max(f[i-1,j-1]+1,f[i,j-1],f[i-1,j],f[i-1,j-1])$$
第二和第三个集合的状态表示是无法直接表示出来的，但是状态划分虽然一般是不充不漏的，但是我们是求最大值，所以可以重但是不能漏，所以第二和第三种状态表示只是包括了那两个集合，也包含了部分其他的，而恰好第四种情况其实已经在第二三种情况时计算过了，所以不用重复计算：
$$f[i,j]=max(f[i-1,j-1]+1,f[i-1,j],f[i,j-1]);$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int n, m;
int f[N][N];
char a[N], b[N];

int main(void)
{
    
    
    cin >> n >> m >> a + 1 >> b + 1; // 下标从1开始
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
    
    
            f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            // 如果此时a[i] = b[j]时，才存在第1种情况
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl ;
    return 0;
}

最长公共上升子序列

状态表示：$f[i,j]$ 表示所有在 $A[1......i]$ 中和 $B[1......j]$ 中都出现过，且以 $B[j]$ 结尾的公共上升子序列的集合
$$集合划分=\{\begin{array}{cc}不包含A[i]的公共子序列& (f[i-1,j])\\ & \\ 包含A[i]的公共子序列& (max(f[i-1,1....j]+1))\end{array}$$
不包含 $A[i]$ 的集合很好理解，跟具定义出发就是 $f[i-1,j]$ ，包含 $A[i]$ 在什么情况下才存在呢？只有在 $A[i]=B[j]$ 时才存在，因为是以 $B[j]$ 结尾，然后我们怎么去找这个集合中的最大，就是从 $1$ 到 $j$ 找一个max即可，朴素版是需要三层循环的，在枚举 $1$ 到 $j$ 时我们可以考虑前缀和的思想去用一个 $maxv$ 去把每一次的遍历的最大值都存起来，这样就不用每一次都去遍历了减少了时间复杂度

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 3010;
int a[N], b[N], f[N][N], n;
int main(void)
{
    
    
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> b[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
        int maxv = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
    
    
            f[i][j] = f[i - 1][j]; // 先让f[i][j]等于左边集合
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(maxv, f[i][j]); //如果右边集合存在，再次更新f[i][j]
            if (b[j] < a[i]) maxv = max(maxv, f[i - 1][j] + 1); //如果当前值小于a[i]，那就更新maxv
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[n][i]);
    //因为b[j]是一定被选，所以要枚举取最大值
    cout << res << endl ;
    return 0;
}

OK，准备回归背包问题！

明天叭，今天感觉什么都没干，就过去了，放点水题上来水水博客，比如AcWing周赛 [滑稽.jpg]

4200. 简单问题 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main(void)
{
    
    
    int p1, p2, p3, p4, a, b;
    if (a > b) swap(a, b);
    cin >> p1 >> p2 >> p3 >> p4 >> a >> b;
    int c = min(p1, min(p2, min(p3, p4))) - 1;
    if (c < a) puts("0");
    else if (a <= c && c <= b) printf("%d", c - a + 1);
    else printf("%d", b - a + 1);
    return 0;
}

4201. 01数 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n ;
int res = 1;

void dfs(int x) 
{
    
    
    if (x * 10 <= n) {
    
    
        res ++ ;
        dfs(x * 10);
    }
    if (x * 10 + 1 <= n) {
    
    
        res ++;
        dfs(x * 10 + 1);
    }
}

int main(void)
{
    
    
    cin >> n;
    dfs(1);
    cout << res << endl ;
    return 0;
}