第五章：排序算法

第五章：排序算法¹

Part1：内部排序²

1、三大经典排序算法

1.1 插入排序

将待排序记录插入到已排好序的序列中

1. 直接插入排序

   每次将一个记录使用顺序查找³，插入到前面已经排好序的子序列中

2. 折半插入排序

   在1的基础之上，对子序列进行折半查找

3. 希尔排序（Shell Sort）

   先追求表中元素部分有序，然后逐渐逼近全局有序。每次有n个记录使用直接插入排序（n=length/distance）

   具体操作：选择一个距离d，另表中相距d的元素之间使用直接插入排序，另d=d/2，重复该过程

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1.2选择排序

每次均从无序序列中找到一个最值，并且放入有序序列中，并将其从无序序列中删除

1. 简单选择排序

   遍历无序序列，从中找到最值并且固定，从剩下的无需序列中重复该过程

2. 堆排序⁴

   • 堆：即用顺序结构存储的完全二叉树

     • 大根堆：根结点>左右孩子（就算是数值上相同，也认为是严格大于）
     • 小根堆：根结点<左右孩子

   • 具体操作（以大根堆为例）

     将无序序列视为堆，并将其成为大根堆，从而选出最大值，并且加入有序序列，对剩下的序列重复该操作即可

1.3交换排序

根据比较结果，交换两个元素在序列中的位置，故称为交换

1. 冒泡排序

   比较两个相邻元素的值，如果不符合序，则交换他们。

   在这个过程中，各个元素会逐渐到达他们最终的位置，就像水底的气泡向上冒一样，故称之为冒泡排序。（每次均可确定一个最值）

2. 快速排序⁵

   基本思路：挖坑填树+分治法

   即选择一个基数，对数组分区（左边均小于这个基数，右边均大于这个基数），对左右区间重复该过程直到左右区间只有1或者0个数。

2、特殊排序算法

2.1 归并排序（Merge Sort）

将n个有序的序列合并为1个成为n路归并，而归并排序，是将原来含有n个元素的无序序列视为n个有序的序列，然后归并

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2.2 基数排序（Radix Sort）

基本思想：通过比较元素各位大小，然后排序

实现思路：采用一个辅助队列，先比低位，按序入队并出队，然后再比较高位，重复

Part2：外部排序

由于数据元素太多无法一次性调入内存，故只能每次一部分一部分的调入内存排序，称为外部排序。

1、实现思路

在内存中开辟n个缓冲区（n >= 2+1）⁶将数据元素分区读入，然后

• 缓冲区内部使用内部排序使其有序
• 缓冲区之间使用归并排序，使其生成初始归并段并写回外存
• 从外存中读取不同的归并段，并使用归并排序，写回外存，重复至归并段只有一个

2、对该过程的分析

每次排序，都需要读写in缓冲区（1中的例子）个数的磁盘块（Block）由于磁盘块读写时间远大于内部排序和归并排序的时间，所有影响该过程的时间因素主要是磁盘读写时间。

设Block个数为x，采用k路归并（in缓冲区个数有k个），归并次数为m次，r为初始归并段个数
$$磁盘读写次数=2\ast x+m\ast 2\ast x$$
其中

• 第一个2x表示生成初始归并段所需要读写的次数（读入为x次，写入为x次）

• 第二个部分m2x表示归并排序所需读写次数

而
$$\begin{gathered} m=\lceil lo{g}_{k}r\rceil \\ r=\lceil lo{g}_{k}x\rceil \end{gathered}$$
由于x无法改变，所以我们只能考虑减小m来减少磁盘读写时间

• 增大k——多路平衡归并——败者树优化
• 减小r——增加归并段的长度——置换-选择排序

3、败者树

采用多路平衡归并需要付出两个代价，一个是需要多片缓冲区，一个是需要k-1次的关键词对比，为了优化多路平衡归并，只能从k-1次的关键词对比下手了。

在k-1次对比中，如果不是第一次对比，那么可以根据以往的比较记录快速比较出最值，即败者树。

通常以一颗完全二叉树来表示这种数据结构，其叶子节点表示元素，非叶子节点表示失败者；

4、置换-选择排序

设外部排序有m个记录，而in缓冲区中可存放n个记录，则初始归并段数量为(m>>n)
$$\lceil m/n\rceil$$
可以使用置换-选择排序来增大归并段长度，从而减少归并段数量

基本思想：采用一个temp来记录当前段的最大值，并且不断输出可用最小值，知道无可用最小值为止，这样为一段。重复该过程

通过置换-选择排序生成的归并段长度是不同的，这样子就造成了一个问题，把这些长度不同的归并段写回外存的开销是不同的，显然长度越长，开销越大。这就相当于给这些归并段赋予了权重，我们可以采用哈夫曼树的思想来优化，即为最佳归并树

5、最佳归并树

例如当我们有5个归并段，采用二路归并时

同理可以扩展至k路归并

对于k叉归并（k>2），有时归并段的数量不满足严格k叉树，这个时候我们就要补充几个长度为0的虚段使其满足。（技巧，如果题目中只告诉你目前有几个归并段，和k的值，那么将归并段权重假设为一样即可，这样子一下就可看出需要补充几个虚段）

Part end：参考文献和一些说明：

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1. 对本章结构的一些说明：根据数据元素是否在内存中，将排序算法分为内部排序和外部排序。 ↩︎

2. 在三大经典算法中，所有加速过的算法均是不稳定的（希尔，堆，快速），而简单算则排序也是不稳定的，其余算法均为稳定的 ↩︎

3. 注意这里的顺序查找是从后面往前面查找，以从小到大排序为例，如果该记录更小一些，那么后面的元素后移，记录插入到空出来的位置。所以对于已经排序的序列只需要对比n次即可 ↩︎

4. 注意将关键词依次插入到初始为空的大根堆中，和将关键字序列直接成堆最后得到的序列不同，做题时要注意！ ↩︎

5. 这个部分全部参考自：https://blog.csdn.net/morewindows/article/details/6684558 ↩︎

6. 2表示2个读入缓冲区，1表示一个输出缓冲区 ↩︎