【数学建模之Python】12.追赶法求解三对角方程组

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目录

一、前言

二、方程组的特点

1.类型 

2.要求

3.方法的优势

 三、算法步骤

 四、例题+代码

1.用追赶法求解以下五阶方程组

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 2.代码

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一、前言

1.在数值计算中，如三次样条插值或用差分法求解微分方程边值问题时会遇到三对角方程组。现在来讲一讲求解方法。

2.本文借鉴了https://www.bilibili.com/video/BV1aA41147Ab

二、方程组的特点

1.类型 

2.要求

3.方法的优势

当矩阵比较大的时候用这种方法会快很多

 三、算法步骤

 四、例题+代码

1.用追赶法求解以下五阶方程组

 2.代码

import numpy as np

A = np.array([[4, 1, 0, 0, 0],
              [1, 4, 1, 0, 0],
              [0, 1, 4, 1, 0],
              [0, 0, 1, 4, 1],
              [0, 0, 0, 1, 4]])
f = np.array([2, 1, 1, 1, 2])
# 一、左乘A逆
print('传统方法：', np.linalg.inv(A) @ f)

# 二、追赶法
a = np.array([0, 1, 1, 1, 1], dtype=float)
b = np.array([4, 4, 4, 4, 4], dtype=float)
c = np.array([1, 1, 1, 1, 0], dtype=float)
y = np.zeros(5)
B = np.zeros(5)
x = np.zeros(5)
y[0] = f[0] / b[0]
d = b[0]
for i in range(1, 5):
    B[i - 1] = c[i - 1] / d
    d = b[i] - a[i] * B[i - 1]
    y[i] = (f[i] - a[i] * y[i - 1]) / d
x[4] = y[4]

for i in range(3, -1, -1):
    x[i] = y[i] - B[i] * x[i + 1]
print('追赶法：', x)

求解结果：

传统方法： [0.48076923 0.07692308 0.21153846 0.07692308 0.48076923]
追赶法： [0.48076923 0.07692308 0.21153846 0.07692308 0.48076923]