一、概述
本文介绍如何通过Pytorch实现linear-chain CRF，CRFs概括了任何无向的图结构，譬如序列，树，图等，在实现中使用了序列化的结构，即模型是基于前面的状态转移来进行条件判断的，这样的模型称为Linear-chain CRF。
二、通过Pytorch实现linear-chain CRF
- 关于CRF的理论
自从CRF的第一篇论文发布以来，已经在机器学习领域得到了广泛的运用，譬如从生物信息领域的计算，计算机视觉到自然语言处理等。CRFs模型和LSTMs模型组合使用带来了很好的效果。在前面谈到的DIET架构图中，就使用CRF对Transformer处理后的输出进行信息提取。当在BiLSTM模型上面搭建一层CRF时，针对sequence的POS tagging处理可以获得更准确的结果。
下面是测试结果样例：
对于CRFs来说，处理一个序列分类问题的目标是基于给定的输入序列vectors X，找到一个labels序列y的概率，条件概率表示为P(y | X)。
可以定义以下符号表示：
训练集：输入和目标序列对 {(Xi,yi)}
第i个vectors输入序列：
第i个labels目标序列：
条件概率可以表示为：
这里使用正则化对P(yk|xk)建模类似于在神经网络中广泛使用的softmax转换。使用exp函数的原因在于：
-避免underflow，当非常小的数字相乘时会得到更小的数字，从而可能造成underflow
-避免Non-negative输出：所有值都大于0
-避免单调递增：值会愈来愈大
U(x,y)被称为一元分数，即在第k个时间步基于vector x对应y的预测分数。X可以对应任意的内容，在实践中，x通常是周围元素的拼接，譬如来自于一个滑动窗口的词嵌入。每个一元factor的权重是通过模型中的一个可学习的权重来衡量的，如果把它们看做是LSTM的输出就很容易理解。
Z(x)通常称为partition 函数，我们可以把它看做是正则化的一个factor，因为最后需要得到概率，这类似于softmax函数的分母。
目前为止描述了一个常规分类模型，现在可以添加一个可学习权重来对label yk转移到label yk+1的情况进行建模。通过建模，可以创建连续的labels之间的依赖性，所以这就是Linear-chain CRF。为了达到这个目的，可以把前面的概率同P(yk+1|yk)进行相乘，通过指数运算把乘法变为一元分数U(x,y)与可学习转移分数T(y,y)之和。
整个条件概率公式表达如下：
从代码实现来说，T(y,y)可以被看做是一个矩阵：(nb_labels,nb_labels)，其中的每个entry是一个可学习参数，表示从第i个label到第j个label的状态转移。下面是关于这些变量的描述：
-emissions或者unary scores（一元分数）：给定输入xk时预测yk的概率分数
-transition scores(T)：表示yk后面是yk+1的概率分数
-partition function(Z)：为了基于序列获得概率分布的正则化因数(factor)
接下来是定义function Z，由于是正则化操作，需要考虑到每一个时间步基于label set的所有可能的组合。如果有l个组合计算，那么时间复杂度就是O(|y|∧l)。
我们可以利用循环依赖性使用动态编程来有效计算，这样的算法称为forward algorithm或者backward algorithm，取决于你迭代序列的顺序。这与神经网络中提到的正向传播和反向传播算法无关。