[线性代数]矩阵变换在几何中的体现：缩放、翻转、切片、旋转、平移矩阵；放射变换

1.缩放矩阵

几何图示

在这里插入图片描述

对应公式

$\begin{aligned} &x^{\prime}=-x \\ &y^{\prime}=y \end{aligned}$

$\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} s_{x} & 0 \\ 0 & s_{y} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]$

带入数据

$\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0.5 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]$

2.反转矩阵

几何图示

在这里插入图片描述

对应公式

$\begin{aligned} &x^{\prime}=-x \\ &y^{\prime}=y \end{aligned}$

$\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]$

3.切片（剪切）矩阵

几何图示

在这里插入图片描述

对应公式

$\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & a \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]$

4.旋转矩阵

几何图示

在这里插入图片描述

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对应公式

$\mathbf{R}_{\theta}=\left[\begin{array}{cc} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

推导：

取点 $(1, 0) \to (c o s θ, s i n θ)$

$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} A & B \\ C & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right)\\ &\left(\begin{array}{c} \cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right) \end{aligned}$

得出 $A = c o s θ, C = s i n θ$

取点 $(0, 1) \to (- s i n θ, c o s θ)$
$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{c} -\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right) \end{aligned}$

得出 $B = - s i n θ, D = c o s θ$

5.平移矩阵

几何图示

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对应公式

$\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime}\\ 1 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x \\ y\\ 1 \end{array}\right)$

在此，你发现它多了一维，这说明：如果我们要对一个二维矩阵进行平移，我们需要用三维矩阵去控制它。

也就意味着，用一个三维的矩阵，不止可以将其平移，而是可以对它进行任意操作。

由此，引出了一个变换：仿射变换。

仿射变换

简单来说，仿射变换就是：线性变换”+“平移。

线性变换有三个特点：

变换前是直线，变换后依然是直线；
直线比例保持不变
变换前是原点，变换后依然是原点

仿射变换有两个特点：

变换前是直线，变换后依然是直线。
直线比例保持不变。

可以发现，由于加入了平移，原点不变的特性消失了。

在这里插入图片描述
平移不是线性变换，而是仿射变换。

所有的仿射变换都可以用一个三维矩阵来表示。

Scale
$\mathbf{S}\left(s_{x}, s_{y}\right)=\left(\begin{array}{ccc} s_{x} & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$
Rotation
$\mathbf{R}(\alpha)=\left(\begin{array}{ccc} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$
Translation
$\mathbf{T}\left(t_{x}, t_{y}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & t_{x} \\ 0 & 1 & t_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

然而，以上我们都讨论的是针对一张图片——2D图形的变换。当变为3D物体时，我们只需要加一个坐标 $z$ ，就可以表示3D物体的放射变换，当然，“操作”这个三维矩阵的矩阵，自然就是4维的。
$\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lllc} a & b & c & t_{x} \\ d & e & f & t_{y} \\ g & h & i & t_{z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ 1 \end{array}\right)$

在此引申出了一个哲学问题，要操作一个 $n$ 维的“东西”，则需要操作者（观察者）至少处于第 $n + 1$ 维。例如：

一个点处于任何一个位置，它都是一个点，它并不具有任何能表示自己的值。

对于一条线，也可以理解为一个线段，这个点就有了一个坐标，也就是我们小学时学过的——横坐标（x坐标）。

对于一个平面，一条线就成了向量，离开线的点也可以被一个平面发现。

对于一个空间，一个平面也有了位置，两个不相交的平面可以通过空间坐标来知道彼此的位置。

下一个维度，我个人的理解为时间，但由于我也是三维生物，我无法做出比喻。

设想一下，是否有一个可以在时间轴上任意穿梭的“东西”，它能知道我们宇宙中的一切呢？无论是宇宙的过去，或是宇宙未来的模样，对于它来说只是重设时间值这么一个简单的操作？