实验目的
1、掌握实序列的DFT共轭对称性的特点；
2、学习应用实序列DFT的共轭对称性构建频域序列以保证时域序列为实数的方法；
实验原理
1.DFT的共轭对称性
其中：
2.有限长实序列的DFT的共轭对称性
设
为长度为N的有限长实序列，则
是圆周共轭对称序列：
。此对称性又可表示为：
。
实验内容
1、试利用 DFT 的共轭对称性，设计两种高效算法，使得计算一个N 点DFT 来得到两个实序列的 N 点 DFT。设：
(1)算法一：令
，计算其16点离散傅里叶变换（提示：取 N=16时，
。
由
分别求出
和
，并通过
和
求IDFT的方法验证得出的结果是否正确。
clc,clear,close all
N=16;
n=0:1:N-1;
x1=cos(pi/4*n);
x2=sin(pi/8*n);
xn=x1+x2;
Xk=fft(xn,16);
X1=real(Xk);
X2=imag(Xk);
x11=ifft(X1,16);
x22=ifft(1i*X2,16);
subplot(611)
stem(n,X1)
xlabel('k');
ylabel('real(X1)');
subplot(612)
stem(n,X2)
xlabel('k');
ylabel('real(X2)');
subplot(613)
stem(n,x1);
xlabel('n');
ylabel('x1');
subplot(614)
stem(n,x11);
xlabel('n');
ylabel('x1恢复');
subplot(615)
stem(n,x2);
xlabel('n');
ylabel('x2');
subplot(616)
stem(n,x22);
xlabel('n');
ylabel('x2恢复');
实验结论 1-1：
、
与
的关系？
答：
(2)算法二：令
，重复（1）。
clc,clear,close all
N=16;
n=0:1:N-1;
k=0:1:N-1;
x1=cos(pi/4*n);
x2=sin(pi/8*n);
xn=x1+1i*x2;
Xk=fft(xn,16);
Xkx=conj(Xk);%取共轭
X1=1/2*(Xk+[Xkx(1),fliplr(Xkx(2:16))]);
X2=1/2*(Xk-[Xkx(1),fliplr(Xkx(2:16))]);
x11=ifft(X1,16);
x22=ifft(X2,16)*(-1i);
subplot(611)
stem(n,real(X1))
xlabel('k');
ylabel('real(X1)');
subplot(612)
stem(n,real(X2))
xlabel('k');
ylabel('real(X2)');
subplot(613)
stem(n,x1);
xlabel('n');
ylabel('x1');
subplot(614)
stem(n,x11);
xlabel('n');
ylabel('x1恢复');
subplot(615)
stem(n,x2);
xlabel('n');
ylabel('x2');
subplot(616)
stem(n,x22);
xlabel('n');
ylabel('x2恢复');
实验结论 1-2：
、
与
的关系？
答：
2.有限长实序列的DFT的共轭对称性
由有限长实序列的DFT的共轭对称性可知，频域成共轭对称的序列作IDFT
后为实序列，而实数的发送可以大大简化发送设备。OFDM 正是利用这一特性来保证发往信道的序列为实数序列的。
按要求编程完成以下内容：
设 XK_in 为一频域复数序列，XK_in=[1+j,-3-j,-3+3*j,-1-3*j];
试利用实序列的 DFT 的共轭对称性公式
，将频域序列
XK_in 扩展成共轭对称形式Xk，以保证其对应的时域序列xn =ifft(Xk,16)为实数序列。
（1）求频域序列Xk；并给出Xk的实部与虚部图；
clc,clear,close all
format compact
N=16;
n=0:1:N-1;
k=0:1:7;
XK_in=[1+1i,-3-1i,-3+3*1i,-1-3*1i];
XKf=conj(fliplr(XK_in));
Xk=[0,XK_in,0,0,0,0,0,0,0,XKf];
subplot(211)
stem(n,real(Xk));
xlabel('k');
ylabel('real(Xk)');
subplot(212)
stem(n,imag(Xk));
xlabel('k');
ylabel('imag(Xk)');
实验结论 2-1：说明Xk的实部与虚部各有何特点；
答：实部关于N/2偶对称，虚部关于N/2奇对称。
（2）求xn =ifft(Xk,16)；
clc,clear,close all
format compact
N=16;
n=0:1:N-1;
k=0:1:7;
XK_in=[1+1i,-3-1i,-3+3*1i,-1-3*1i];
XKf=conj(fliplr(XK_in));
Xk=[0,XK_in,0,0,0,0,0,0,0,XKf];
xn =ifft(Xk,16)
subplot(211)
stem(n,real(xn));
xlabel('n');
ylabel('real(xn)');
subplot(212)
stem(n,imag(xn));
xlabel('n');
ylabel('imag(xn)');
实验结论 2-2：说明xn是否为实数序列，可以用xn的实部与虚部图来说明。
答：由上图可知，xn虚部恒为0，为实数序列。
实验思考
1.对序列x(n)，如何通过计算N/2点DFT而得到N点DFT？
答：
（1）对于序列x(n),可由基2FFT算法，对x(n)进行奇偶序列划分来求N/2点DFT，从而求出N点DFT。
（2）特别的，若x(n)为实序列，则由
，当N=偶数时，只需计算X(k)的前面N/2+1点，而N=奇数时，只需计算X(k)的前面(N+1)/2点，从而计算出N点DFT。