扩展欧几里得算法及贝祖定理

贝祖定理

对于$a,b$是任意两个正整数，则存在整数$s,t$使得$sa+tb=(a,b)$。其中$(a,b)$是$a,b$的最大公因数。
其证明也就是求最大公因数的逆过程。这里使用辗转相除法来证明。
不妨设$a>b$，则有下列等式成立：
$\begin{array}{rl}a& =q_{0}b+r_0,(0<r_0<b)\\ b& =q_1{r}_0+r_1,(0<r_1<r_0)\\ r_0& =q_2{r}_1+r_2,(0<r_2<r_1)\\ & ⋮\\ r_{n-2}& =q_n{r}_{n-1}+r_n,(0<r_n<r_{n-1})\\ r_{n-1}& =q_{n+1}{r}_n+r_{n+1},(r_{n+1}=0)\end{array}$
根据辗转相除法，$r_n=(a,b)$
现在，将上述等式倒过来，有
$\begin{array}{rl}{r}_n& =-q_n{r}_{n-1}+r_{n-2},\\ r_{n-1}& =-q_{n-2}{r}_{n-2}+r_{n-3},\\ & ⋮\\ r_2& =-q_2{r}_1+r_0,\\ r_1& =-q_1{r}_0+b,\\ r_0& =-q_{0}b+a.\end{array}$
然后逐步消去$r_{n-1},r_{n-2},r_{n-3},\cdots ,r_0$，便找到了对应的$s,t$。
如果令$$\begin{gathered} s_{-2}=1,s_{-1}=0,s_j=(-q_j)s_{j-1}+s_{j-2}, \\ {t}_{-2}=0,t_{-1}=1,s_j=(-q_j)t_{j-1}+t_{j-2}. \end{gathered}$$
根据递推公式，就可以轻易算出$s,t$了。而计算的过程就是扩展欧几里得算法。

c++示例代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
// ensure that a > b 
vector<int> exgcd(int a,int b,int s1=1,int s2=0,int t1=0,int t2=1){
    
    
	int r=a%b;
	if(r==0){
    
    
		return {
    
    b,s2,t2};
	}
	int q=a/b;
	int s3=-q*s2+s1;
	int t3=-q*t2+t1;
	return exgcd(b,r,s2,s3,t2,t3);
}
int main(){
    
    
	int a,b;
	cout<<"ensure that a>b."<<endl;
	cout<<"please input a "<<endl;
	cin>>a;
	cout<<"please input b "<<endl;
	cin>>b;
	vector<int> res=exgcd(a,b);
	cout<<"s is "<<res[1]<<endl;
	cout<<"t is "<<res[2]<<endl;
	cout<<"(a,b) is "<<res[0]<<endl;
	cout<<"sa + tb = "<<res[1]*a+res[2]*b<<endl;
	
}

大整数扩展欧几里得算法

当$(a,b)=1$时，往往使用扩展欧几里得算法来求逆元，但是，通常的应用都是大整数，int类型显然太小了。在gmp库中实现了扩展欧几里得算法。
其函数原型为：
void mpz_gcdext (mpz_t g, mpz_t s, mpz_t t, const mpz_t a, const mpz_t b)

#include<iostream>
#include<gmpxx.h>
#include<gmp.h>
using namespace std;
int main(){
    
    
        mpz_class a,b,s,t;
        cout<<"Please input a and b (a<b)"<<endl;
        cout<<"a:";
        cin>>a;
        cout<<"b:";
        cin>>b;
        mpz_class gcd;
        mpz_gcdext(gcd.get_mpz_t(),s.get_mpz_t(),t.get_mpz_t(),a.get_mpz_t(),b.get_mpz_t());
        cout<<"s is:"<<s<<endl;
        cout<<"t is:"<<t<<endl;
        cout<<"the gcd is:"<<gcd<<endl;
        cout<<"sa + tb = "<<s*a+t*b<<endl;
        return 0;
}