一、完全背包问题描述
有5种物品和1个背包，每种物品的个数是无限的，背包最多只能装下10公斤的物品。怎样选择物品，使得背包能装下并且得到的价值最大。物品的重量、价值如下所示：
| 物品编号 | 重量 | 价值 |
| 1 | 2 | 6 |
| 2 | 2 | 3 |
| 3 | 6 | 5 |
| 4 | 5 | 4 |
| 5 | 4 | 6 |
二、解题思路
我们先看下多重背包实现原理：背包问题之多重背包_爱思考的实践者的博客-CSDN博客
对比分析发现，完全背包与多重背包的差别就是：对物品按种类划分，每种物品的个数不限制。
可以对问题进行抽象：对物品按顺序编号，物品i的重量为weight[i]，价值为value[i]，个数不限制。选取第i种物品时，已知背包当前最大承重为j，怎样装载物品，才能使得背包最大价值dp[i][j]最大？
在多重背包状态转移方程的基础上，可以总结出多重背包的状态转移方程：
当前物品i的重量weight[i]大于背包承重j时，背包最大价值为：
dp[i][j] = dp[i-1][j]
当前物品i的重量weight[i]小于等于背包承重j时，背包最大价值为：
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j - k*weight[i]] + k * value[i], dp[i-1][j])
其中，k满足条件： 0 <= k <= j/weight[i]。
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三、Java编码实现
根据上一节的状态转移方程，我们很容易就能编程解决多重背包问题。
3.1 朴素求解背包最大价值与选取物品列表
直接按照状态转移方程进行求解，具体实现代码为：
package com.test.packalgorithm;
import com.google.common.collect.Maps;
import org.apache.commons.collections4.map.MultiKeyMap;
import java.util.Map;
import java.util.Objects;
/**
* 多重背包
*/
public class CompletePackRecord {
/**
* 获取最大价值
*
* @param N 物品个数
* @param W 背包最大承重
* @param weight 物品重量数组
* @param value 物品价值数组
* @param ij2Goods 选择的商品列表
* @return 最大价值
*/
public int[][] getDp(int N, int W, int[] weight, int[] value, MultiKeyMap<Integer, Map<Integer, Integer>> ij2Goods) {
// 定义一个数组dp[i][j] i表示当前物品的种类序号, j表示当前书包的重量
int[][] dp = new int[N + 1][W + 1]; // 【物品种类, 背包容量】
for (int j = 0; j <= W; j++) { // 物品不存在时，最大价值肯定是0
dp[0][j] = 0;
}
for (int i = 1; i <= N; i++) { // 背包重量为0时，最大价值肯定是0
dp[i][0] = 0;
}
for (int i = 1; i <= N; i++) { // 从第1类物品开始选
for (int j = 1; j <= W; j++) {
// 初始化 dp[i][j]
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
Map<Integer, Integer> preGoods = ij2Goods.get(i - 1, j);
if (Objects.isNull(preGoods)) {
preGoods = Maps.newHashMap();
}
if (weight[i] <= j) { // 第i类物品重量 小于等于 当前承载重量，根据价值大小判断是否放入。
// 考虑物品的件数限制, 寻找dp[i][j]的最大值
int maxNumber = j / weight[i];
for (int k = 0; k <= maxNumber; k++) {
int ijkValue = dp[i - 1][j - (k * weight[i])] + (k * value[i]);
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], ijkValue);
}
if (dp[i][j] > dp[i - 1][j]) {
int k;
for (k = 0; k <= maxNumber; k++) {
int ijValue = dp[i - 1][j - (k * weight[i])] + (k * value[i]);
if (dp[i][j] == ijValue) {
break;
}
}
preGoods = ij2Goods.get(i - 1, j - (k * weight[i]));
if (Objects.isNull(preGoods)) {
preGoods = Maps.newHashMap();
}
Map<Integer, Integer> goods = Maps.newHashMap();
goods.putAll(preGoods);
goods.put(i, k);
ij2Goods.put(i, j, goods);
} else {
ij2Goods.put(i, j, preGoods);
}
} else { // 第i件物品重量大于当前承载重量，则不放入。
ij2Goods.put(i, j, preGoods);
}
}
}
return dp;
}
public static void main(String[] args) {
int N = 5; // 商品种类数
int W = 10; // 背包最大承载重量
int[] w = new int[N + 1]; // 每件物品的重量，为方便理解，下标从1开始
w[1] = 2;
w[2] = 2;
w[3] = 6;
w[4] = 5;
w[5] = 4;
int[] v = new int[N + 1]; // 每件物品的价值
v[1] = 6;
v[2] = 3;
v[3] = 5;
v[4] = 4;
v[5] = 6;
MultiKeyMap<Integer, Map<Integer, Integer>> ij2Goods = new MultiKeyMap<>();
CompletePackRecord obj = new CompletePackRecord();
int[][] dp = obj.getDp(N, W, w, v, ij2Goods);
for (int i = 0; i <= N; i++) {
for (int j = 0; j <= W; j++) {
System.out.printf("(%d,%d)=%-5d", i, j, dp[i][j]);
}
System.out.println();
}
// 背包能够装入物品的最大值为
int maxValue = dp[N][W];
System.out.printf("maxValue=%d", maxValue);
System.out.println();
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
System.out.printf("(%d,%d)=%-8s", i, j, ij2Goods.get(i, j).toString());
}
System.out.println();
}
System.out.println("goods:");
ij2Goods.get(N, W).forEach((key, value)-> System.out.printf("key=%d, value=%d\n", key, value));
}
}
运行结果为：
(0,0)=0 (0,1)=0 (0,2)=0 (0,3)=0 (0,4)=0 (0,5)=0 (0,6)=0 (0,7)=0 (0,8)=0 (0,9)=0 (0,10)=0
(1,0)=0 (1,1)=0 (1,2)=6 (1,3)=6 (1,4)=12 (1,5)=12 (1,6)=18 (1,7)=18 (1,8)=24 (1,9)=24 (1,10)=30
(2,0)=0 (2,1)=0 (2,2)=6 (2,3)=6 (2,4)=12 (2,5)=12 (2,6)=18 (2,7)=18 (2,8)=24 (2,9)=24 (2,10)=30
(3,0)=0 (3,1)=0 (3,2)=6 (3,3)=6 (3,4)=12 (3,5)=12 (3,6)=18 (3,7)=18 (3,8)=24 (3,9)=24 (3,10)=30
(4,0)=0 (4,1)=0 (4,2)=6 (4,3)=6 (4,4)=12 (4,5)=12 (4,6)=18 (4,7)=18 (4,8)=24 (4,9)=24 (4,10)=30
(5,0)=0 (5,1)=0 (5,2)=6 (5,3)=6 (5,4)=12 (5,5)=12 (5,6)=18 (5,7)=18 (5,8)=24 (5,9)=24 (5,10)=30
maxValue=30
(1,1)={} (1,2)={1=1} (1,3)={1=1} (1,4)={1=2} (1,5)={1=2} (1,6)={1=3} (1,7)={1=3} (1,8)={1=4} (1,9)={1=4} (1,10)={1=5}
(2,1)={} (2,2)={1=1} (2,3)={1=1} (2,4)={1=2} (2,5)={1=2} (2,6)={1=3} (2,7)={1=3} (2,8)={1=4} (2,9)={1=4} (2,10)={1=5}
(3,1)={} (3,2)={1=1} (3,3)={1=1} (3,4)={1=2} (3,5)={1=2} (3,6)={1=3} (3,7)={1=3} (3,8)={1=4} (3,9)={1=4} (3,10)={1=5}
(4,1)={} (4,2)={1=1} (4,3)={1=1} (4,4)={1=2} (4,5)={1=2} (4,6)={1=3} (4,7)={1=3} (4,8)={1=4} (4,9)={1=4} (4,10)={1=5}
(5,1)={} (5,2)={1=1} (5,3)={1=1} (5,4)={1=2} (5,5)={1=2} (5,6)={1=3} (5,7)={1=3} (5,8)={1=4} (5,9)={1=4} (5,10)={1=5}
goods:
key=1, value=5
3.2 优化求解背包最大价值与选取物品列表
当前物品i的重量weight[i]小于等于背包承重j时，对状态转移方程进行分析，可以发现：
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i], dp[i-1][j - 2*weight[i]] + 2*value[i] ,......, dp[i-1][j - k*weight[i]] + k*value[i])
dp[i][j-weight[i]] = Math.max(dp[i-1][j - weight[i]], dp[i-1][j - 2*weight[i]] + value[i], dp[i-1][j - 3*weight[i]] + 2*value[i], ......, dp[i-1][j - k*weight[i]] + (k-1)*value[i])
其中，k满足条件： 0 <= k <= j/weight[i]。
对比分析以上两个公式，可以推导出新的状态转移方程：
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j]，dp[i][j-weight[i]] + value[i]）
据此，可以对朴素求解完全背包算法进行优化，具体实现为：
package com.test.packalgorithm;
import com.google.common.collect.Maps;
import org.apache.commons.collections4.map.MultiKeyMap;
import java.util.Map;
import java.util.Objects;
/**
* 多重背包
*/
public class CompletePackRecordOpt {
/**
* 获取最大价值
*
* @param N 物品个数
* @param W 背包最大承重
* @param weight 物品重量数组
* @param value 物品价值数组
* @param ij2Goods 选择的商品列表
* @return 最大价值
*/
public int[][] getDp(int N, int W, int[] weight, int[] value, MultiKeyMap<Integer, Map<Integer, Integer>> ij2Goods) {
// 定义一个数组dp[i][j] i表示当前物品的序号, j表示当前书包的重量
int[][] dp = new int[N + 1][W + 1]; // 【物品种类, 背包容量】
for (int j = 0; j <= W; j++) { // 物品不存在时，最大价值肯定是0
dp[0][j] = 0;
}
for (int i = 1; i <= N; i++) { // 背包重量为0时，最大价值肯定是0
dp[i][0] = 0;
}
for (int i = 1; i <= N; i++) { // 从第1类物品开始选
for (int j = 1; j <= W; j++) {
// 初始化 dp[i][j]
dp[i][j] = dp[i - 1][j];
Map<Integer, Integer> preGoods = ij2Goods.get(i - 1, j);
if (Objects.isNull(preGoods)) {
preGoods = Maps.newHashMap();
}
if (weight[i] <= j) { // 第i类物品重量 小于等于 当前承载重量，根据价值大小判断是否放入。
dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - weight[i]] + value[i], dp[i][j]);
if (dp[i][j] > dp[i - 1][j]) {
int maxNumber = j / weight[i]; // 考虑物品的件数限制
int k;
for (k = 0; k <= maxNumber; k++) {
int ijkValue = dp[i - 1][j - (k * weight[i])] + (k * value[i]);
if (dp[i][j] == ijkValue) {
break;
}
}
preGoods = ij2Goods.get(i - 1, j - (k * weight[i]));
if (Objects.isNull(preGoods)) {
preGoods = Maps.newHashMap();
}
Map<Integer, Integer> goods = Maps.newHashMap();
goods.putAll(preGoods);
goods.put(i, k);
ij2Goods.put(i, j, goods);
} else {
ij2Goods.put(i, j, preGoods);
}
} else { // 第i件物品重量大于当前承载重量，则不放入。
ij2Goods.put(i, j, preGoods);
}
}
}
return dp;
}
public static void main(String[] args) {
int N = 5; // 商品种类数
int W = 10; // 背包最大承载重量
int[] w = new int[N + 1]; // 每件物品的重量，为方便理解，下标从1开始
w[1] = 2;
w[2] = 2;
w[3] = 6;
w[4] = 5;
w[5] = 4;
int[] v = new int[N + 1]; // 每件物品的价值
v[1] = 6;
v[2] = 3;
v[3] = 5;
v[4] = 4;
v[5] = 6;
MultiKeyMap<Integer, Map<Integer, Integer>> ij2Goods = new MultiKeyMap<>();
CompletePackRecordOpt obj = new CompletePackRecordOpt();
int[][] dp = obj.getDp(N, W, w, v, ij2Goods);
for (int i = 0; i <= N; i++) {
for (int j = 0; j <= W; j++) {
System.out.printf("(%d,%d)=%-5d", i, j, dp[i][j]);
}
System.out.println();
}
// 背包能够装入物品的最大值为
int maxValue = dp[N][W];
System.out.printf("maxValue=%d", maxValue);
System.out.println();
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
System.out.printf("(%d,%d)=%-8s", i, j, ij2Goods.get(i, j).toString());
}
System.out.println();
}
System.out.println("goods:");
ij2Goods.get(N, W).forEach((key, value) -> System.out.printf("key=%d, value=%d\n", key, value));
}
}
运行结果为：
(0,0)=0 (0,1)=0 (0,2)=0 (0,3)=0 (0,4)=0 (0,5)=0 (0,6)=0 (0,7)=0 (0,8)=0 (0,9)=0 (0,10)=0
(1,0)=0 (1,1)=0 (1,2)=6 (1,3)=6 (1,4)=12 (1,5)=12 (1,6)=18 (1,7)=18 (1,8)=24 (1,9)=24 (1,10)=30
(2,0)=0 (2,1)=0 (2,2)=6 (2,3)=6 (2,4)=12 (2,5)=12 (2,6)=18 (2,7)=18 (2,8)=24 (2,9)=24 (2,10)=30
(3,0)=0 (3,1)=0 (3,2)=6 (3,3)=6 (3,4)=12 (3,5)=12 (3,6)=18 (3,7)=18 (3,8)=24 (3,9)=24 (3,10)=30
(4,0)=0 (4,1)=0 (4,2)=6 (4,3)=6 (4,4)=12 (4,5)=12 (4,6)=18 (4,7)=18 (4,8)=24 (4,9)=24 (4,10)=30
(5,0)=0 (5,1)=0 (5,2)=6 (5,3)=6 (5,4)=12 (5,5)=12 (5,6)=18 (5,7)=18 (5,8)=24 (5,9)=24 (5,10)=30
maxValue=30
(1,1)={} (1,2)={1=1} (1,3)={1=1} (1,4)={1=2} (1,5)={1=2} (1,6)={1=3} (1,7)={1=3} (1,8)={1=4} (1,9)={1=4} (1,10)={1=5}
(2,1)={} (2,2)={1=1} (2,3)={1=1} (2,4)={1=2} (2,5)={1=2} (2,6)={1=3} (2,7)={1=3} (2,8)={1=4} (2,9)={1=4} (2,10)={1=5}
(3,1)={} (3,2)={1=1} (3,3)={1=1} (3,4)={1=2} (3,5)={1=2} (3,6)={1=3} (3,7)={1=3} (3,8)={1=4} (3,9)={1=4} (3,10)={1=5}
(4,1)={} (4,2)={1=1} (4,3)={1=1} (4,4)={1=2} (4,5)={1=2} (4,6)={1=3} (4,7)={1=3} (4,8)={1=4} (4,9)={1=4} (4,10)={1=5}
(5,1)={} (5,2)={1=1} (5,3)={1=1} (5,4)={1=2} (5,5)={1=2} (5,6)={1=3} (5,7)={1=3} (5,8)={1=4} (5,9)={1=4} (5,10)={1=5}
goods:
key=1, value=5
四、总结
完全背包状态转移方程与多重背包状态转移方程几乎一样，差别只在于物品件数没有限制。在理解0-1背包和多重背包后，理解完全背包就很简单了。