二维离散卷积之可分离卷积核

学习资料参考：

张平.《OpenCV算法精解：基于Python与C++》.[Z].北京.电子工业出版社.2017.

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概念

类比于线性代数中的两个矩阵的乘法运算。如果一个卷积核至少由两个尺寸比它小的卷积核full卷积而成，如下所示：

那么这样的卷积核就可以分离。上述例子是分离为一维水平方向和一维垂直方向上的卷积核。当分离的一般不满足交换律。

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性质

1. full卷积
   若卷积核可分离，那么我们进行卷积的时候，可以按照分离后，再进行卷积，如下所示：
   

一般的卷积计算如下：
$I=(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 10& 12\\ 32& 43& 12& 4& 190\\ 12& 234& 78& 0& 12\\ 43& 90& 32& 8& 90\\ 71& 12& 4& 98& 123\end{array})$
$kernel=(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 1& 0& -1\\ 1& 0& -1\end{array})$.

计算两者的卷积
I_Kernel = signal.convolve2d(I,kernel,mode = 'full',boundary = 'fill',fillvalve = 0);

进行分离后再卷积，如下所示：
$kernel=(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array})$* $(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\end{array})$
或者
$kernel=(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array})$* $(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array})$

再次计算两者的卷积

kernel1 = np.array([[1],[1],[1]],np.float32)
kernel2 = np.array([[1,0,-1]],np.float32)
I_k1 = signal.convolve2d(I,kernel1,mode = 'full',boundary = 'fill',fillvalve = 0)
I_k1_k2 = signal.convolve2d(I_k1 ,kernel2,mode = 'full',boundary = 'fill',fillvalve = 0)

2. same卷积
   与full卷积类似，拆分也类似。
   代码改动，将mode参数修改为same即可

kernel1 = np.array([[1],[1],[1]],np.float32)
kernel2 = np.array([[1,0,-1]],np.float32)
I_same1 = signal.convolve2d(I,kernel1,mode = 'same',boundary = 'fill',fillvalve = 0)
I_same2 = signal.convolve2d(I_same1,kernel2,mode = 'same',boundary = 'fill',fillvalve = 0)

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可分离卷积的优势

可使卷积运算量减少。
如图像矩阵$I$的尺寸为高$H1$，宽$W1$,卷积核kernel的尺寸为高$H2$，宽$W2$，那么进行same卷积的运算量预估为$（H1\ast W1）\ast （H2\ast W2）$次；若进行分离，那么卷积核就转换为一个行向量与一个列向量，然后再进行运算，可使卷积运算量减少到$（H1\ast W1）\ast （H2+W2）$