1. 问题描述

在 "100 game" 这个游戏中，两名玩家轮流选择从 1 到 10 的任意整数，累计整数和，先使得累计整数和 达到或超过 100 的玩家，即为胜者。

如果我们将游戏规则改为 “玩家不能重复使用整数” 呢？

例如，两个玩家可以轮流从公共整数池中抽取从 1 到 15 的整数（不放回），直到累计整数和 >= 100。

给定两个整数 maxChoosableInteger （整数池中可选择的最大数）和 desiredTotal（累计和），若先出手的玩家是否能稳赢则返回 true ，否则返回 false 。假设两位玩家游戏时都表现最佳。

示例 1：

输入：maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 11
输出：false
解释：
无论第一个玩家选择哪个整数，他都会失败。
第一个玩家可以选择从 1 到 10 的整数。
如果第一个玩家选择 1，那么第二个玩家只能选择从 2 到 10 的整数。
第二个玩家可以通过选择整数 10（那么累积和为 11 >= desiredTotal），从而取得胜利.
同样地，第一个玩家选择任意其他整数，第二个玩家都会赢。

示例 2:

输入：maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 0
输出：true

示例 3:

输入：maxChoosableInteger = 10, desiredTotal = 1
输出：true

提示:

1 <= maxChoosableInteger <= 20
0 <= desiredTotal <= 300

2. 思路与算法

想了半天有没有基于数学推理的便捷方法，没有找到头绪。还是只能上暴力搜索：动态规划+记忆化搜索+状态压缩。

如果maxChoosableInteger总和小于desiredTotal的话，显然两者都不可能赢。这个是边界条件。

对于每个玩家，轮到TA玩的时候，记当前已经使用的数用usedNumbers代表，到此为止的累计和记为 $currentTotal$ 。该玩家可以尝试遍历剩下的每个数：

如果取其中某个数 $i$ 可以满足 $currentTotal + i \geq desiredTotal$ 则该玩家可以获胜。

如果当前玩家取掉数 $i$ 后，接下来轮对方玩，对方输的话，则也是该玩家获胜

如果遍历完所有可选的数，每个都无法获胜，则该玩家输。

注意，以上搜索的一个关键点是，虽然对于初始问题来说是存在A赢B输；A输B赢；两者都赢不了；等三种局面。但是排除了“maxChoosableInteger总和小于desiredTotal”的初始条件进入动态规划的递归调用后，就必然是可以分出胜负的局面，即每次dp()的调用返回的结果表示当前玩家或必输或必赢不存在中间状态。

usedNumbers可以用一个整数来表示各数是否被使用（注意，题设条件maxChoosableInteger<=20，所以一个32比特整型数足够）。然后用位操作来实现状态记忆和提取，这是常用的状态压缩技巧。

3. 代码实现

class Solution:
    def canIWin(self, maxChoosableInteger: int, desiredTotal: int) -> bool:
        memo = dict()
        def dp(usedNumbers: int, currentTotal: int) -> bool:
            if (usedNumbers,currentTotal) in memo:
                return memo[(usedNumbers,currentTotal)]
            for i in range(maxChoosableInteger):
                if (usedNumbers >> i) & 1 == 0:
                    if currentTotal + i + 1 >= desiredTotal or not dp(usedNumbers | (1 << i), currentTotal + i + 1):
                        memo[(usedNumbers,currentTotal)] = True
                        return True
            memo[(usedNumbers,currentTotal)] = False
            return False

        return (1 + maxChoosableInteger) * maxChoosableInteger // 2 >= desiredTotal and dp(0, 0)

if __name__ == "__main__":
    
    sln = Solution() 
    
    maxChoosableInteger = 10
    desiredTotal = 11
    print(sln.canIWin(maxChoosableInteger, desiredTotal))
    
    maxChoosableInteger = 10
    desiredTotal = 0
    print(sln.canIWin(maxChoosableInteger, desiredTotal))
    
    maxChoosableInteger = 10
    desiredTotal = 1
    print('maxChoosable={0}, desired={1}, ans={2}' \
          .format(maxChoosableInteger,desiredTotal,sln.canIWin(maxChoosableInteger, desiredTotal)))
    
        
    maxChoosableInteger = 20
    desiredTotal = 140
    tic = time.time()
    ans = sln.canIWin(maxChoosableInteger, desiredTotal)
    toc = time.time()
    print('maxChoosable={0}, desired={1}, ans={2}, tcose={3:4.2f}(sec)'.format(maxChoosableInteger,desiredTotal,ans,toc-tic))

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Leetcode0464. 我能赢吗(medium)

1. 问题描述

2. 思路与算法

3. 代码实现

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