730. 统计不同回文子序列 : 枚举边缘字符的区间 DP 运用题

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题目描述

这是 LeetCode 上的 730. 统计不同回文子序列 ，难度为困难。

Tag : 「区间 DP」、「动态规划」

给定一个字符串 s，返回 s 中不同的非空「回文子序列」个数。

通过从 s 中删除 $0$ 个或多个字符来获得子序列。

如果一个字符序列与它反转后的字符序列一致，那么它是「回文字符序列」。

如果有某个 $i$ , 满足 $a_i$ != $b_i$ ，则两个序列 a1, a2, ... 和 b1, b2, ... 不同。

注意：

结果可能很大，你需要对 $10^9 + 7$ 取模。

示例 1：

输入：s = 'bccb'

输出：6

解释：6 个不同的非空回文子字符序列分别为：'b', 'c', 'bb', 'cc', 'bcb', 'bccb'。
注意：'bcb' 虽然出现两次但仅计数一次。
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示例 2：

输入：s = 'abcdabcdabcdabcdabcdabcdabcdabcddcbadcbadcbadcbadcbadcbadcbadcba'

输出：104860361

解释：共有 3104860382 个不同的非空回文子序列，104860361 对 109 + 7 取模后的值。
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提示：

$1 <= s.length <= 1000$
s[i] 仅包含 'a', 'b', 'c' 或 'd'

区间 DP

往长度较少的回文串两端添加字符，可能组成新的长度大的回文串，容易想到「区间 DP」，同时 s 仅由 $4$ 类小写字母组成，也是一个切入点。

根据区间 DP 的一般思路，定义 $f[i][j]$ 为考虑字符串 s 中的 $[i,j]$ 范围内回文子序列的个数，最终答案为 $f[0][n - 1]$ 。

不失一般性考虑 $f[i][j]$ 该如何转移，通过枚举 abcd 作为回文方案「边缘字符」来进行统计，即分别统计各类字符作为「边缘字符」时对 $f[i][j]$ 的贡献，此类统计方式天生不存在重复性问题。

假设当前枚举到的字符为 $k$ ：

若 $s[i...j]$ 中没有字符 $k$ ，则字符 $k$ 对 $f[i][j]$ 贡献为 $0$ ，跳过；
若 $s[i...j]$ 中存在字符 $k$ ，根据字符 $k$ 在范围 $s[i...j]$ 中「最小下标」和「最大下标」进行分情况讨论，假设字符 $k$ 在 $s[i...j]$ 中「最靠左」的位置为 $l$ ，「最靠右」的位置为 $r$ ：
- 当 $l = r$ 时，此时字符 $k$ 对 $f[i][j]$ 的贡献为 $1$ ，即 k 本身；
- 当 $l = r - 1$ 时，说明字符 $k$ 中间不存在任何字符，此时字符 $k$ 对 $f[i][j]$ 的贡献为 $2$ ，包括 k 和 kk 两种回文方案；
- 其余情况，可根据已算得的「小区间回文方案」进行延伸（两段分别补充位于 $l$ 和 $r$ 的字符 $k$ ），得到新的大区间方案，此部分对 $f[i][j]$ 的贡献是 $f[l + 1][r - 1]$ ，另外还有 k 和 kk 两种回文方案，因此总的对答案的贡献为 $f[l + 1][r - 1] + 2$ 。

统计 $s[i...j]$ 中各类字符「最靠左」和「最靠右」的位置，可通过调整枚举方向来实现：从大到小枚举 $i$ ，同时维护 L[s[i]-'a'] = i，即可得到「最靠左」的位置；在确定左端点 $i$ 之后，从小到达枚举右端点 $j$ ，同时维护 R[s[i]-'a'] = j，即可得到「最靠右」的位置。

代码：

class Solution {
    int MOD = (int)1e9+7;
    public int countPalindromicSubsequences(String s) {
        char[] cs = s.toCharArray();
        int n = cs.length;
        int[][] f = new int[n][n];
        int[] L = new int[4], R = new int[4];
        Arrays.fill(L, -1);
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            L[cs[i] - 'a'] = i;
            Arrays.fill(R, -1);
            for (int j = i; j < n; j++) {
                R[cs[j] - 'a'] = j;
                for (int k = 0; k < 4; k++) {
                    if (L[k] == -1 || R[k] == -1) continue;
                    int l = L[k], r = R[k];
                    if (l == r) f[i][j] = (f[i][j] + 1) % MOD;
                    else if (l == r - 1) f[i][j] = (f[i][j] + 2) % MOD;
                    else f[i][j] = (f[i][j] + f[l + 1][r - 1] + 2) % MOD;
                }
            }
        }
        return f[0][n - 1];
    }
}
复制代码

时间复杂度： $O(C \times n^2)$ ，其中 $C = 4$ 为字符集大小
空间复杂度： $O(n^2)$

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.730 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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