对于背包问题，相比有很多读者一见到就头疼。不知道什么时候用一维数组什么时候用二维数组，不知道什么时候正向遍历什么时候反向遍历，不知道数组中存什么东西。。。。。。
今天我们总结了背包问题的常见解法，并辅以例题与大家讲解。解背包问题的常见步骤一般如下：
根据函数返回值确定dp数组的类型。如果函数返回int,那么dp数组存int;如果函数返回boolean,那么dp数组存boolean
确定dp数组的最后一个值就是要返回的值
查看题目中变量数目，确定dp数组的维度，变量数即为维度数
写出状态转移方程
写出函数整体框架，包括: 「new一个dp数组并将其大小设为比原始大1,将状态转移方程翻译成for循环，函数最终返回dp数组的最后一个值」
处理边界值和条件
观察状态转移方程，可画表格查看状态转移方程的依赖，删减维度，优化算法
完全背包
例题1：322零钱兑换（中等）
❝给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。你可以认为每种硬币的数量是无限的。
❞
题目很简单，我们按照文章开头的思路走一遍。首先据函数返回值确定dp数组的类型int。然后确定dp数组存储的就是「最少的硬币个数」。第三步确定dp数组的维度，题目中有两个变量，硬币的数量和总金额，所以dp数组是2维的。
然后就开始我们的编码，首先new一个二维的dp数组int[][] dp = new int[coins.length+1][amount+1]。写下我们的基本框架：
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[][] dp = new int[coins.length+1][amount+1];
for(int i=0;i<coins.length;i++){
for(int j=0;j<amount;j++){
dp[i][j] = ;
}
}
return dp[coins.length][amount];
}然后确定状态转移方程。第i个硬币凑成j所需最小的硬币个数为「不需要当前硬币——第i个硬币凑成j所需最小的硬币个数，或者需要当前硬币——第i个硬币凑成j-coins[i]最小的硬币个数+1（因为硬币数量无限）」。
翻译成代码的形式，dp[i][j] = Math.min(dp[i][j],dp[i][j-coins[i-1]]+1)。
编写代码，考虑j与coins[i-1]的大小关系:
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[][] dp = new int[coins.length+1][amount+1];
for(int i=1;i<coins.length;i++){
for(int j=0;j<amount;j++){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j>=coins[i-1])
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j-coins[i-1]], dp[i-1][j]);
}
}
return dp[coins.length][amount];
}最后处理初始化条件，搞定代码：
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[][] dp = new int[coins.length+1][amount+1];
for(int i=0; i<=coins.length; i++){
for(int j=0;j<=amount;j++)
dp[i][j] = amount+1;
dp[i][0] = 0;
}
for(int i=1;i<=coins.length;i++){
for(int j=0;j<=amount;j++){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j>=coins[i-1])
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j-coins[i-1]]+1, dp[i][j]);
}
}
return dp[coins.length][amount]==amount+1?-1:dp[coins.length][amount];
}观察代码，我们发现dp[i][*]只与dp[i-1][*]和dp[i][*]有关，即只与它前一个状态有关，所以完全可以删除这一个维度，修改代码如下：
public int coinChange(int[] coins, int amount) {
int[] dp = new int[amount+1];
for(int j=0;j<=amount;j++)
dp[j] = amount+1;
dp[0] = 0;
for(int i=1;i<=coins.length;i++){
for(int j=0;j<=amount;j++){
if(j>=coins[i-1])
dp[j] = Math.min(dp[j-coins[i-1]]+1, dp[j]);
}
}
return dp[amount]==amount+1?-1:dp[amount];
}你们学会了吗？那来动手做一下下面这题吧！
例题2：518零钱兑换II（中等）
❝给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。
❞
第一步写好整体框架：
public int change(int amount, int[] coins) {
int[][] dp = new int[coins.length+1][amount+1];
for(int i=1;i<=coins.length;i++){
for(int j=0;j<=amount;j++){
dp[i][j] =
}
}
return dp[coins.length][amount];
}第二步确定状态转移方程，第i个硬币凑成j的组合数为「不需要当前硬币——第i个硬币凑成j的组合数+需要当前硬币——第i个硬币凑成j-coins[i]的组合数（因为硬币数量无限）」。
翻译成代码的形式，dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i][j-coins[i-1]]。
编写代码，考虑j与coins[i-1]的大小关系:
public int change(int amount, int[] coins) {
int[][] dp = new int[coins.length+1][amount+1];
for(int i=1;i<=coins.length;i++){
for(int j=0;j<=amount;j++){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j>=coins[i-1]):
dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i][j-coins[i-1]];
}
}
return dp[coins.length][amount];
}最后处理初始化条件，搞定代码：
public int change(int amount, int[] coins) {
int[][] dp = new int[coins.length+1][amount+1];
for(int i=0; i<=coins.length; i++)
dp[i][0] = 1;
for(int i=1;i<=coins.length;i++){
for(int j=0;j<=amount;j++){
dp[i][j] = dp[i-1][j];
if(j>=coins[i-1])
dp[i][j] = dp[i][j] + dp[i][j-coins[i-1]];
}
}
return dp[coins.length][amount];
}观察代码，删除维度，修改代码如下：
class Solution {
public int change(int amount, int[] coins) {
int[] dp = new int[amount+1];
dp[0] = 1;
for(int i=1;i<=coins.length;i++){
for(int j=0;j<=amount;j++){
if(j>=coins[i-1])
dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i-1]];
}
}
return dp[amount];
}
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