最大公因数及其求解算法（GCD）

定义

对于$n$个整数$a_1,a_2,\cdots ,a_n$，其中$n\ge 2$，如果整数d整除这n个整数中的每一个，那么d是这n个数的公因数。即$$d|a_1,d|a_2,\cdots ,d|a_n$$
如果$a_1,a_2,\cdots ,a_n$不全为0，那么其公因数中最大的一个，叫做这n个整数的最大公因数。一般记作$gcd(a_1,a_2,\cdots ,a_n)=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$。若这n个数的最大公因数为1，则这n个数互素或者互质。
求解多个数的公因数，一般来说是先求两个数的公因数，得到的公因数再与其他数求公因数，直到求完所有数。
而求两个数的最大公因数，一般来说有两种，一种是更相减损术，另一种是辗转相除法。不妨设我们要求整数a、b的最大公因数$a>b>0$，下面分别介绍更相减损术和辗转相除法。

更相减损术

1、假设$d=a-b$，如果$d==b$，则最大公因数是d；
2、否则，令$a==max(b,d),b=min(b,d)$，其中max是指其中最大的数，min是指最小的数。转到第一步，直到$d==b$。
显然，由于$a>b>0$，则每一次迭代，a会不断减小，同样b也会减小，并且，由于a、b均为整数，则每次至少减小1，所以算法一定会收敛。

证明：
假设$k|a,k|b$，那么有$a=q_{1}k,b=q_{2}k$，所以$d=(q_1-q_2)k$，即$k|d$；
同理如果$k|d,k|b$，那么有$d=q_{1}k,b=q_{2}k$，所以$a=(q_1+q_2)k$，即$k|a$;
也就是$k|a,k|b$与$k|d,k|b$等价； 所以$gcd(a,b)=gcd(b,d)$.

下面是一个用c++和gmp库实现的代码。

#include<iostream>
#include<gmpxx.h>
using namespace std;
int main(){
    
    
	mpz_class a,b;
	cout<<"Please input a:"<<endl;
	cin>>a;
	cout<<"Please input b:"<<endl;
	cin>>b;
	mpz_class d;
	//ensure a>b;
	if(a<b){
    
    
		d=a;
		a=b;
		b=d;
	}
	if(a==0 or b==0){
    
    
		cout<<"a or b can not be 0."<<endl;
		return 0;
	}
	if(a==b){
    
    
		cout<<"gcd(a,b)="<<a<<endl;
		return 0;
	}
	d=a-b;
	while(d!=b){
    
    
		if(b>d){
    
    
			a=b;
			b=d;
		}else{
    
    
			a=d;
		}
		d=a-b;
	}
	cout<<"gcd(a,b)="<<d<<endl;
	return 0;
}

假设文件名字为gcd1.cpp，使用如下命令编译

g++ gcd1.cpp -o gcd1 -lgmp -lgmpxx

辗转相除法

1、令r=a%b，即r是a除以b的余数，也就是说a=qb+r，其中q是整数，$0\le r\le b$。
2、如果r==0，那么b是最大公因数，否则，令a=b，b=r，转到第1步。
由于r在不断减小，算法最终会收敛。

证明：
假设$k|a,k|b$，那么有$a=q_{1}k,b=q_{2}k$，所以$r=(q_1-q{q}_2)k$，即$k|r$；
同理如果$k|r,k|b$，那么有$r=q_{1}k,b=q_{2}k$，所以$a=(q_1+q{q}_2)k$，即$k|a$;
也就是$k|a,k|b$与$k|r,k|b$等价； 所以$gcd(a,b)=gcd(b,r)$.

代码如下

#include<iostream>
#include<gmpxx.h>
using namespace std;
int main(){
    
    
	mpz_class a,b;
	cout<<"Please input a:"<<endl;
	cin>>a;
	cout<<"Please input b:"<<endl;
	cin>>b;
	mpz_class r;
	//ensure a>b;
	if(a<b){
    
    
		r=a;
		a=b;
		b=r;
	}
	if(a==0 or b==0){
    
    
		cout<<"a or b can not be 0."<<endl;
		return 0;
	}
	if(a==b){
    
    
		cout<<"gcd(a,b)="<<a<<endl;
		return 0;
	}
	r=a%b;
	while(r!=0){
    
    
		a=b;
		b=r;
		r=a%b;
	}
	cout<<"gcd(a,b)="<<b<<endl;
	return 0;
}

gmp自带的gcd函数

gmp中实现了gcd函数，其用法如下

#include<iostream>
#include<gmpxx.h>
using namespace std;
int main(){
    
    
        mpz_class a,b;
        cout<<"Please input a:"<<endl;
        cin>>a;
        cout<<"Please input b:"<<endl;
        cin>>b;
        cout<<gcd(a,b)<<endl;
        return 0;
}