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浅谈 分而治之-欧几里得算法
此问题讨论来源于《算法图解》[美] Aditya Bhargava
一、抛出问题
假设你有一小块田地，面积是1680*640。你要将这块地均匀地分成方块，并且分出地方块要尽可能大，你该如何分？
首先你可能想到，我直接对半分一下就好了，但是题中是需要分成的是方块；那你可能想到，我先按方块来分，然后对剩下不是方块的部分，我再分成方块。但是这就违背了均匀的题意。所以，应该如何来分呢？
我们可以使用分而治之的思想来解决问题。首先找出一个条件：一条边的长度是另一条边的整数倍。这样分出的土地正好是方块。另外一个就是如何把问题逐步分解来满足这个条件。
- 首先根据长方形最短的边来分得正方形，但是这会余下一块土地，如图。
- 然后对余下的土地重复上述步骤，如图。
- 最终会分成一条边是另一条边的倍数，也就达到了第一个条件。所以这块土地可以分成80*80的最大均匀方块。
这个问题用到的就是分而治之的思路，同时里面也有递归的映射，这里就不做讨论了。
但是为什么会有这么一种方法呢？它背后的原理是什么呢？如果深究，就请继续看下面的欧几里得算法。
二、欧几里得算法及证明
一、算法
上面问题的解决归结到数学上，其实就属于求解两个数的最大公约数。说到这里可能很多人明白了，让我们继续往下看吧。 欧几里得算法是求解最大公约数。A和B的最大公约数使用GCD(A,B)（Greatest Common Divisor）表示。它的性质是：
- 如果A=0，GCD(0,B) = B,GCD(A,B) = B;
- 如果B=0，GCD(A,0) = A,GCD(A,B) = A;
- 如果A,B不为0.那么找出A = B*Q + R.得出GCD(A,B) = GCD(B,R)。然后重复此步骤直到满足性质一或者性质二，也即A=0或B=0;其中Q为整数，R为在0到B-1之间的整数；
使用此算法来计算上述例子，你就会发现上述例子思想就是欧几里得算法。
若你想继续深究，可以继续往下阅读欧几里得算法的性质证明，看看它是如何得出上面三个性质的。
二、证明
下面我们来证明欧几里得算法如何求得A和B的最大公约数。 首先看前两条性质，如果B=0，GCD(A,0) = B,GCD(A,B) = A;
- 能整除A的最大整数是A；
- 对于任何整数C，我们写成 C*0 = 0，我们可以得到任何整数都可以整除0；所以我们可以得出A可以整除0。也可以理解成，A是0的约数，0是A的约数；
- 所以在在0和A中选取最大公约数，那么就是A，所以GCD(A,0) = A;
- 同理用在A=0的情况
下面我们来看第三条性质。我们需要逐步证明，来让过程看得简单：
要证明GCD(A,B) = GCD(B,R)，我们先证明GCD(A,B) = GCD(B,A-B) 我们驾驶有三个数A,B,C，其中C=A-B 1、证明：GCD(A,B)整除C
- 通过GCD(A,B)的定义来看，GCD(A,B)可以整除A，所以A一定是GCD(A,B)的倍数。例如 X*GCD(A,B) = A
- 同理B也是GCD(A,B)的倍数Y*GCD(A,B) = B；
- 因为A - B = C,所以
X * GCD(A,B) - Y * GCD(A,B) = C, (X-Y)GCD(A,B) = C 所以得证GCD(A,B)可以整除C
2、证明：GCD(B,C)可以整除A
- 同上通过定义，GCD(B,C)可以整除B和C，B,C均为GCD(B,C)的倍数，有:
M * GCD(B,C) = B; N * GCD(B,C) = C
- 由A-B=C得B+C=A
M * GCD(B,C) + N * GCD(B,C) = A (M+N) GCD(B.C) = A 所以得证
3、证明：GCD(A,B)=GCD(A,A-B)
- GCD(A,B)可以整除B，上述已证明也可以整除C，所以得出GCD(A,B)是B和C的公约数（不一定是最大公约数）
- 所以GCD(A,B)一定是小于等于B和C的最大公约数，也即GCD(A,B)小于等于GCD(B,C)
- 同理，GCD(B,C)可以整除B和A，所以是B和A的公约数，所以有GCD(B,C)小于等于GCD(A,B)
- 所以得出GCD(A,B) = GCD(B,C)，也即GCD(A,B) = GCD(B,C) = GCD(B,A-B)
上述三个证明课=可归纳为此图：
4、最后证明：GCD(A,B) = GCD(B,R)
- GCD(A,B) = GCD(B,A-B),其中括号内可以互换顺序，GCD(A,B) = GCD(A-B,B)
- 由前面证明1和2可知：
GCD(A,B)=GCD(A-B,B)=GCD(A-2B,B)=GCD(A-3B,B)=...=GCD(A-Q⋅B,B)
- 因为A = B * Q + R,所以R = A-Q * B
- 所以得证GCD(A,B) = GCD(B,R)
证毕 下面是我的一些学习心得，题外话，大家可看可不看。 我认为我们应该拥有系统性思维，学习知识要由浅入深，再由深入浅。俗话说，先把书本读厚，再把书本读薄。学习不可泛泛而学，模棱两可，能用就用；不可知其然而不知其所以然。学习是需要系统性，打牢基础部分。对于计算机学科来说，数学更是非常重要。所以我们应该系统得去学习，磨炼基础知识，熟练应用解决问题，形成系统，这样才能在学习上更进一步。
人在学习的时候，总会听自己想听的内容，从而会忽略一些重要知识，所以温故知新，建议收藏。