Schrödinger 方程的差分方法

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Schrödinger 方程的差分方法

引言

Schrödinger 方程奠定了近代量子力学的基础, 揭示了微观世界中物质运动的基本规律. Schrödinger 方程在量子力学中的地位如同牛顿三定律之于经典力学、麦克斯韦方程之于电磁学. Schrödinger 方程在等离子物理、非线性光子学、水波及双分子动力学等领域也有重要应用.

考虑如下 Schrödinger 方程初边值问题
$\begin{aligned} &\mathrm{i} u_{t}+u_{x x}+q|u|^{2} u=0, \quad 0<x<L, 0 \leqslant t \leqslant T, \\ &u(x, 0)=\varphi(x), \quad 0 \leqslant x \leqslant L, \\ &u(0, t)=0, \quad u(L, t)=0, \quad 0<t \leqslant T, \end{aligned}\tag{1}$
其中 $q$ 为实常数, $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 为虚数单位, $\varphi(x)$ 为复值函数, $\varphi(0)=\varphi(L)=0, u(x, t)$ 为末知复函数.

三层线性化差分格式

差分格式的建立

在点 $\left(x_{j}, t_{\frac{1}{2}}\right)$ 处考虑控制方程, 有
$\mathrm{i} u_{t}\left(x_{j}, t_{\frac{1}{2}}\right)+u_{x x}\left(x_{j}, t_{\frac{1}{2}}\right)+q\left|u\left(x_{j}, t_{\frac{1}{2}}\right)\right|^{2} u\left(x_{j}, t_{\frac{1}{2}}\right)=0, \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1 .$
由微分公式可得
$\mathrm{i} \delta_{t} U_{j}^{\frac{1}{2}}+\delta_{x}^{2} U_{j}^{\frac{1}{2}}+q\left|\hat{u}_{j}\right|^{2} U_{j}^{\frac{1}{2}}=P_{j}^{0}, \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1,\tag{2}$
其中
$\hat{u}_{j}=u\left(x_{j}, 0\right)+\frac{\tau}{2} u_{t}\left(x_{j}, 0\right), \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1,$
且存在常数 $c_{8}$ 使得
$\left|P_{j}^{0}\right| \leqslant c_{8}\left(\tau^{2}+h^{2}\right), \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1 .$
在点 $\left(x_{j}, t_{k}\right)$ 处考虑控制方程, 有
$\mathrm{i} u_{t}\left(x_{j}, t_{k}\right)+u_{x x}\left(x_{j}, t_{k}\right)+q\left|u\left(x_{j}, t_{k}\right)\right|^{2} u\left(x_{j}, t_{k}\right)=0, \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1,1 \leqslant k \leqslant n-1 .$

由微分公式可得

$\mathrm{i} \Delta_{t} U_{j}^{k}+\delta_{x}^{2} U_{j}^{\bar{k}}+q\left|U_{j}^{k}\right|^{2} U_{j}^{\bar{k}}=P_{j}^{k}, \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1,1 \leqslant k \leqslant n-1,\tag{3}$
且存在常数 $c_{9}$ 使得
$\begin{gathered} \left|P_{j}^{k}\right| \leqslant c_{9}\left(\tau^{2}+h^{2}\right), \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1,1 \leqslant k \leqslant n-1, \\ \left|\Delta_{t} P_{j}^{k}\right| \leqslant c_{9}\left(\tau^{2}+h^{2}\right), \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1,2 \leqslant k \leqslant n-2 . \end{gathered}$
注意到初边值条件, 有
$U_{j}^{0}=\varphi\left(x_{j}\right), \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1,$

$U_{0}^{k}=0, \quad U_{m}^{k}=0, \quad 0 \leqslant k \leqslant n .$
在 $(2)$ 和 $(3)$ 中略去小量项, 对问题 $(1)$ 建立如下线性化差分格式
$\begin{aligned} &\mathrm{i} \delta_{t} u_{j}^{\frac{1}{2}}+\delta_{x}^{2} u_{j}^{\frac{1}{2}}+q\left|\hat{u}_{j}\right|^{2} u_{j}^{\frac{1}{2}}=0, \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1, \\ &\mathrm{i} \Delta_{t} u_{j}^{k}+\delta_{x}^{2} u_{j}^{\bar{k}}+q\left|u_{j}^{k}\right|^{2} u_{j}^{\bar{k}}=0, \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1,1 \leqslant k \leqslant n-1 \\ &u_{j}^{0}=\varphi\left(x_{j}\right), \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1, \\ &u_{0}^{k}=0, \quad u_{m}^{k}=0, \quad 0 \leqslant k \leqslant n . \end{aligned}$

建立代数系统

两层格式(启动层)

记
$u^{k}=\left(u_{0}^{k}, u_{1}^{k}, \cdots, u_{m-1}^{k}, u_{m}^{k}\right)$
由初值条件知第 $0$ 层上的值 $u^{0}$ 已知. 根据差分格式
$\mathrm{i} \delta_{t} u_{j}^{\frac{1}{2}}+\delta_{x}^{2} u_{j}^{\frac{1}{2}}+q\left|\hat{u}_{j}\right|^{2} u_{j}^{\frac{1}{2}}=0, \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1$
则关于第 $1$ 层值的差分格式为
$\begin{aligned} &\mathrm{i}\frac{u_{j}^{1}-u_{j}^{0}}{\tau}+\frac{1}{2h^2}(u_{j+1}^{1}-2u_{j}^{1}+u_{j-1}^{1})+\frac{1}{2h^2}(u_{j+1}^{0}-2u_{j}^{0}+u_{j-1}^{0})+q\mid\varphi(x_{j})+\frac{\tau}{2}u_t(x_j,0)\mid^2\cdot\frac{u_{j}^{1}+u_{j}^{0}}{2}=0 ,1\leq j\leq m-1,\\ &u_0^1=0,\ u_m^1=0. \end{aligned}$

将第 $1$ 层写在方程左边, 第 $0$ 层写在方程右边
$\frac{1}{2h^2}u_{j-1}^{1}+(\frac{1}{\tau}\mathrm{i}-\frac{1}{h^2}+\frac{q}{2}\mid\varphi(x_{j})+\frac{\tau}{2}u_t(x_j,0)\mid^2)u_{j}^{1}+\frac{1}{2h^2}u_{j+1}^{1}=-\frac{1}{2h^2}u_{j-1}^{0}+(\frac{1}{\tau}\mathrm{i}+\frac{1}{h^2}-\frac{q}{2}\mid\varphi(x_{j})+\frac{\tau}{2}u_t(x_j,0)\mid^2)u_{j}^{0}-\frac{1}{2h^2}u_{j+1}^{0}$
写成如下矩阵形式
$\begin{array}{l} \left(\begin{array}{ccccc} b & a & & & \\ a & b & a & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & a & b & a \\ & & & a & b \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1}^{1} \\ u_{2}^{1} \\ \vdots \\ u_{m-2}^{1} \\ u_{m-1}^{1} \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} au_{0}^{1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ au_{m}^{1} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccccc} c & -a & & & \\ -a & c & -a & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -a & c & -a \\ & & & -a & c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1}^{0} \\ u_{2}^{0} \\ \vdots \\ u_{m-2}^{0} \\ u_{m-1}^{0} \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} -au_{0}^{0} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ -au_{m}^{0} \end{array}\right) \end{array}$

根据边界条件 $u_0^{0}=u_0^{1}=u_m^{0}=u_m^{1}.$
矩阵形式可化简为
$\begin{array}{l} \left(\begin{array}{ccccc} b & a & & & \\ a & b & a & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & a & b & a \\ & & & a & b \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1}^{1} \\ u_{2}^{1} \\ \vdots \\ u_{m-2}^{1} \\ u_{m-1}^{1} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccccc} c & -a & & & \\ -a & c & -a & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -a & c & -a \\ & & & -a & c\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1}^{0} \\ u_{2}^{0} \\ \vdots \\ u_{m-2}^{0} \\ u_{m-1}^{0} \end{array}\right) \end{array} \tag{4}$
求解以上代数系统, 可以得到关于 $u$ 的第 $1$ 层数值解 $u^1$ .

其中
$\begin{aligned} a&=\frac{1}{2h^2}\\ b&=\frac{1}{\tau}\mathrm{i}-\frac{1}{h^2}+\frac{q}{2}\mid\varphi(x_{j})+\frac{\tau}{2}u_t(x_j,0)\mid^2\\ c&=\frac{1}{\tau}\mathrm{i}+\frac{1}{h^2}-\frac{q}{2}\mid\varphi(x_{j})+\frac{\tau}{2}u_t(x_j,0)\mid^2 \end{aligned}$

注: $u_t(x_j,0)$ 通过控制方程结合初值条件可求得, 具体过程如下.

在点 $x_j,0)$ 考虑控制方程, 有
$\mathrm{i} u_{t}(x_j,0)+u_{x x}(x_j,0)+q|u(x_j,0)|^{2} u(x_j,0)=0, \quad 0<x<L, 0 \leqslant t \leqslant T,$

结合初值条件
$0)=\varphi(x), \quad 0 \leqslant x \leqslant L$
得
$\mathrm{i} u_{t}(x_j,0)+\varphi\prime\prime(x)+q|\varphi(x)|^{2} \varphi(x)=0, \quad 0<x<L, 0 \leqslant t \leqslant T,$
在方程两边同时乘以 $-\mathrm{i}$ 得
$u_{t}(x_j,0)-\mathrm{i}\varphi\prime\prime(x)-\mathrm{i}q|\varphi(x)|^{2} \varphi(x)=0, \quad 0<x<L, 0 \leqslant t \leqslant T,$
于是
$u_{t}(x_j,0)=\mathrm{i}\varphi\prime\prime(x)+\mathrm{i}q|\varphi(x)|^{2} \varphi(x), \quad 0<x<L, 0 \leqslant t \leqslant T,$

三层格式

由初值条件和求解代数系统 $(4)$ , 第 $0$ 层及第 $1$ 层上的值 $u^{0},\ u^{1}$ 已知. 设已确定出了第 $k-1,\ k$ 层的值 $u^{k-1},\ u^{k}$ . 根据差分格式
$\mathrm{i} \Delta_{t} u_{j}^{k}+\delta_{x}^{2} u_{j}^{\bar{k}}+q\left|u_{j}^{k}\right|^{2} u_{j}^{\bar{k}}=0, \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1,1 \leqslant k \leqslant n-1$
则关于第 $k + 1$ 层值的差分格式为
$\mathrm{i}\frac{u_{j}^{k+1}-u_{j}^{k-1}}{2\tau}+\frac{1}{2h^2}(u_{j+1}^{k+1}-2u_{j}^{k+1}+u_{j-1}^{k+1})+\frac{1}{2h^2}(u_{j+1}^{k-1}-2u_{j}^{k-1}+u_{j-1}^{k-1})+\frac{q}{2}\mid u_{j}^{k}\mid^2\cdot(u_{j}^{k+1}+u_{j}^{k-1})=0, \quad 1 \leqslant j \leqslant m-1,1 \leqslant k \leqslant n-1$
将第 $k + 1$ 层写在方程左边, 第 $k - 1$ 层及 $k$ 层写在方程右边
$\frac{1}{2h^2}u_{j-1}^{k+1}+(\frac{\mathrm{i}}{2\tau}-\frac{1}{h^2}+\frac{q}{2}\mid u_{j}^{k}\mid^2)u_{j}^{k+1}+\frac{1}{2h^2}u_{j+1}^{k+1}= -\frac{1}{2h^2}u_{j-1}^{k-1}+(\frac{\mathrm{i}}{2\tau}+\frac{1}{h^2}-\frac{q}{2}\mid u_{j}^{k}\mid^2)u_{j}^{k-1}-\frac{1}{2h^2}u_{j+1}^{k-1}.$
写成如下矩阵形式
$\begin{array}{l} \left(\begin{array}{ccccc} e & d & & & \\ d & e & d & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & d & e & d \\ & & & d & e \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1}^{k+1} \\ u_{2}^{k+1} \\ \vdots \\ u_{m-2}^{k+1} \\ u_{m-1}^{k+1} \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} du_{0}^{k+1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ du_{m}^{k+1} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccccc} f & -d & & & \\ -d & f & -d & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -d & f & -d \\ & & & -d & f\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1}^{k-1} \\ u_{2}^{k-1} \\ \vdots \\ u_{m-2}^{k-1} \\ u_{m-1}^{k-1} \end{array}\right) +\left(\begin{array}{c} -du_{0}^{k-1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ -du_{m}^{k-1} \end{array}\right) \end{array}$
其中
$\begin{aligned} d&=\frac{1}{2h^2}\\ e&=\frac{1}{2\tau}\mathrm{i}-\frac{1}{h^2}+\frac{q}{2}\mid u_{j}^{k}\mid^2\\ f&=\frac{1}{2\tau}\mathrm{i}+\frac{1}{h^2}-\frac{q}{2}\mid u_{j}^{k}\mid^2 \end{aligned}$
根据边界条件 $u_0^{k-1}=u_0^{k}=u_m^{k-1}=u_m^{k}.$
矩阵形式可化简为
$\begin{array}{l} \left(\begin{array}{ccccc} e & d & & & \\ d & e & d & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & d & e & d \\ & & & d & e \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1}^{k+1} \\ u_{2}^{k+1} \\ \vdots \\ u_{m-2}^{k+1} \\ u_{m-1}^{k+1} \end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccccc} f & -d & & & \\ -d & f & -d & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -d & f & -d \\ & & & -d & f\end{array}\right)\left(\begin{array}{c} u_{1}^{k-1} \\ u_{2}^{k-1} \\ \vdots \\ u_{m-2}^{k-1} \\ u_{m-1}^{k-1} \end{array}\right) \end{array} \tag{5}$

求解以上代数系统 $(5)$ , 可以得到关于 $u$ 的第 $k + 1$ 层数值解 $u^{k+1}$ .

数值解

求解程序基于Matlab R2019b

主程序源代码


%%   三层线性化差分格式求解Schrodinger方程

% 考虑如下 Schrodinger 方程初边值问题
% $$
% \begin{aligned}
% &\mathrm{i} u_{t}+u_{x x}+q|u|^{2} u=0, \quad 0<x<L, 0 \leqslant t \leqslant T, \\
% &u(x, 0)=\varphi(x), \quad 0 \leqslant x \leqslant L, \\
% &u(0, t)=0, \quad u(L, t)=0, \quad 0<t \leqslant T,
% \end{aligned}\tag{1}
% $$
% 其中 $q$ 为实常数, $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ 为虚数单位, $\varphi(x)$ 为复值函数, $\varphi(0)=\varphi(L)=0, u(x, t)$ 为末知复函数. 

%% 清空工作区和缓存

clc,clear

%% 初始化定解问题

q=2;                %   @q 薛定谔方程系数q
tau=0.01;         %   @tau 时间步长
h=0.01;            %   @h 空间步长
L=1;                %   @L 空间求解区域
T=1;                %   @T 时间求解区域
N=T/tau;            %   @N t被分割的区间数
M=L/h;              %   @M x被分割的区间数
t=0:tau:T;          %   @t 时间向量
x=0:h:L;            %   @x 空间向量
phi=@(x)exp(x);     %   @phi 初值函数

u=zeros(N+1,M+1);   %   @u 初始化数值解

u(1,:)=phi(x);      %   定义初值条件
u(:,1)=0;           %   定义左边界条件
u(:,M+1)=0;         %   定义右边界条件

%% 两层格式（启动层）

k=2;
% 创建代数系统
a=1/(2*h^2);
b=@(x)1/tau*1i-1/(h^2)+q/2.*abs(phi(x)+tau/2.*(1i.*phi(x)+1i*q.*abs(phi(x)).^2.*phi(x))).^2;
c=@(x)1/tau*1i+1/(h^2)-q/2.*abs(phi(x)+tau/2.*(1i.*phi(x)+1i*q.*abs(phi(x)).^2.*phi(x))).^2;
% 系数矩阵
upper_diagonal_1=ones(M-2,1)*(a); %上对角线
main_diagonal_1=b(x);             %主对角线
lower_diagonal_1=ones(M-2,1)*(a); %下对角线
A=diag(main_diagonal_1(2:length(x)-1),0)+diag(lower_diagonal_1,-1)+diag(upper_diagonal_1,1);
% 右端项
upper_diagonal_2=ones(M-2,1)*(-a);  %上对角线
main_diagonal_2=c(x);               %主对角线
lower_diagonal_2=ones(M-2,1)*(-a);  %下对角线
B=diag(main_diagonal_2(2:length(x)-1),0)+diag(lower_diagonal_2,-1)+diag(upper_diagonal_2,1);    %系数矩阵
% 求解代数系统（由0层求第1层的值）
u(k,2:M)=(A\(B*u(k-1,2:M)'))';

%% 三层格式

for k=3:N+1
    % 创建代数系统
    d=1/(2*h^2);
    e=@(x)1i/(2*tau)-1/(h^2)+q/2.*abs(u(k-1,:)).^2;
    f=@(x)1i/(2*tau)+1/(h^2)-q/2.*abs(u(k-1,:)).^2;
    % 系数矩阵
    upper_diagonal_1=ones(M-2,1)*(d);   %上对角线
    main_diagonal_1=e(x);               %主对角线
    lower_diagonal_1=ones(M-2,1)*(d);   %下对角线
    A=diag(main_diagonal_1(2:length(x)-1),0)+diag(lower_diagonal_1,-1)+diag(upper_diagonal_1,1);
    %右端项
    upper_diagonal_2=ones(M-2,1)*(-d);  %上对角线
    main_diagonal_2=f(x);               %主对角线
    lower_diagonal_2=ones(M-2,1)*(-d);  %下对角线
    B=diag(main_diagonal_2(2:length(x)-1),0)+diag(lower_diagonal_2,-1)+diag(upper_diagonal_2,1);
    % 求解代数系统（由 k-2 层及第 k-1 层求第 k 层的值）
    u(k,2:M)=(A\(B*u(k-2,2:M)'))';
     if mod(k,1)==0
        plot(x,real(u(k,:)),x,imag(u(k,:)))
        axis([x(1) x(end) -5 5])
        legend('实部','虚部');
        getframe;
     end
end

数值结果

Schrödinger 方程的数值解结果

参考文献

孙志忠.《非线性发展方程的有限差分方法》.科学出版社.

本人水平有限, 若有不妥之处, 恳请批评指正.

作者邮箱: [email protected]

Schrödinger 方程的有限差分方法(附Matlab代码及数值结果)