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一、前言
单源最短路，指的是求一个点，到其他所有点的最短距离。即起点是固定的，单一的
注意：最短路问题的核心在于，把问题抽象成一个最短路问题，并建图。图论相关的问题，不侧重于算法原理，而侧重于对问题的抽象。
上篇文章
【图论——第四讲】dijkstra算法求单源最短路及其堆优化提到
所有边的权重都是正数，通常有两种算法
1.朴素Dijkstra
时间复杂度O(n2)，其中n是图中点的个数，m是边的个数
2.堆优化版的Dijkstra
时间复杂度O(mlogn)，其中n是图中点的个数，m是边的个数
如果图存在负边权呢？还能用Dijkstra算法吗？
答案是不可以。
分析：
Dijkstra算法的3个步骤
1、找到当前未标识的且离源点最近的点t
2、对t号点点进行标识
3、用t号点更新其他点的距离
如图：
通过dijkstra算法在图中走出来的最短路径是1 -> 2 -> 4 -> 5，算出 1 号点到 5 号点的最短距离是2 + 2 + 1 = 5，然而还存在一条路径是1 -> 3 -> 4 -> 5，该路径的长度是5 + (-2) + 1 = 4因此存在负边权的图dijkstra 算法失效
dijkstra详细步骤分析
-
初始dist[1] = 0
-
找到了未标识且离源点1最近的结点1，标记1号点，用1号点更新其他所有点的距离，2号点被更新成dist[2] = 2，3号点被更新成dist[3] = 5
-
找到了未标识且离源点1最近的结点2，标识2号点，用2号点更新其他所有点的距离，4号点被更新成dist[4] = 4
-
找到了未标识且离源点1最近的结点4，标识4号点，用4号点更新其他所有点的距离，5号点被更新成dist[5] = 5
-
找到了未标识且离源点1最近的结点3，标识3号点，用3号点更新其他所有点的距离，4号点被更新成dist[4] = 3
-
结束
得到1号点到5号点的最短距离是5，对应的路径是1 -> 2 -> 4 -> 5，并不是真正的最短距离
那么存在负边权的图怎么求最短距离呢？
二、Bellman-Ford算法
时间复杂度 O(nm), n 表示点数，m 表示边数
Bellman - ford 算法是求含负权图的单源最短路径的一种算法，效率较低，代码难度较小。其原理为连续进行松弛，在每次松弛时把每条边都更新一下，若在 n-1 次松弛后还能更新，则说明图中有负环，因此无法得出结果，否则就完成。
bellman - ford算法的具体步骤
for n次
for 所有边 a,b,w (松弛操作)
dist[b] = min(dist[b],dist[a] + w)
int n, m; // n表示点数，m表示边数
int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离
struct Edge // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
int a;
int b;
int w;
}edges[M];
// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
// 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，
//由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
for (int j = 0; j < m; j ++ )
{
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
dist[b] = min(dist[b],dist[a] + w)
}
}
if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
return dist[n];
}
/*
是否能到达n号点的判断中需要进行if(dist[n] > ox3f3f3f3f/2)判断，
而并非是if(dist[n] == 0x3f3f3f3f)判断，原因是0x3f3f3f3f是一个
确定的值，并非真正的无穷大，会随着其他数值而受到影响，dist[n]大于
某个与0x3f3f3f3f相同数量级的数即可
*/
三、Bellman-Ford算法队列优化SPFA 算法
SPFA 算法是 Bellman-Ford算法 的队列优化算法的别称，通常用于求含负权边的单源最短路径，以及判负权环。
SPFA一般情况复杂度是O(m) 最坏情况下复杂度和朴素 Bellman-Ford 相同，为O(nm)。n 表示点数，m 表示边数
算法思想
Bellman_ford算法会遍历所有的边，但是有很多的边遍历了其实没有什么意义，我们只用遍历那些到源点距离变小的点所连接的边即可，只有当一个点的前驱结点更新了，该节点才会得到更新；因此考虑到这一点，我们将创建一个队列每一次加入距离被更新的结点。考虑用BFS来做优化。用一个队列queue，来存放距离变小的节点。
算法步骤
queue <– 1
while queue 不为空
(1) t <– 队头
queue.pop()
(2)用 t 更新所有出边 t –> b，权值为w
queue <– b (若该点被更新过，则拿该点更新其他点)
模板如下：
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 impossible。
数据保证不存在负权回路。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int h[N],ne[N],e[N],w[N],idx;
int m,n;
queue<int>q;
int st[N],d[N]; //st表示队列里是否有某值;
// 存储每个点到1号点的最短距离
// 存储每个点是否在队列中
void add(int a,int b,int c)
{
e[idx]=b;w[idx]=c;ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
int spfa()
{
d[1]=0;
q.push(1);
st[1]=1; //表示队列里有1了;
while(q.size())
{
int t=q.front();q.pop();
st[t]=0;
for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i])
{
int j=e[i];
if(d[j]>d[t]+w[i]) //是否可更新;
{
d[j]=d[t]+w[i]; //更新;
if(!st[j]) //判断队列里是否已经有j;
{
st[j]=1;
q.push(j); //没有则将j插入队列;
}
}
}
}
if(d[n]>0x3f3f3f3f/2)cout<<"impossible"; //可能存在负权边;
else cout<<d[n];
}
int main()
{
memset(h,-1,sizeof(h));
memset(d,0x3f,sizeof(d));
cin>>n>>m;
for(int i=0;i<m;i++)
{
int a,b,c;
cin>>a>>b>>c;
add(a,b,c);
}
spfa();
}
若要使用SPFA算法，一定要求图中不能有负权回路。只要图中没有负权回路，都可以用SPFA，这个算法的限制是比较小的。
当然我们也可以用PSFA算法来判断图中有没有负环。
给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。
如果图中存在负权回路，则输出 Yes，否则输出 No。
请你判断图中是否存在负权回路。
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
bool spfa()
{
// 不需要初始化dist数组
// 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。
queue<int> q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if (cnt[j] >= n) return true; // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
if (!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
}
最后
莫言真理无穷尽，寸进自有寸进欢
