动态规划——509. 斐波那契数

1 题目描述

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/fibonacci-number

2 题目示例

示例 1：
输入：n = 2
输出：1
解释：F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例 2：
输入：n = 3
输出：2
解释：F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例 3：
输入：n = 4
输出：3
解释：F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

3 题目提示

0 <= n <= 30

4 思路

斐波那契数的边界条件是F(0)=0和F(1)=1。当n >1时，每—项的和都等于前两项的和，因此有如下递推关系:
F(n)= F(n- 1)＋F(n -2)

由于斐波那契数存在递推关系，因此可以使用动态规划求解。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为F(0)和F(1)。
根据状态转移方程和边界条件，可以得到时间复杂度和空间复杂度都是O(n)的实现。由于F(nz)只和F(n—1)与F(n ―2)有关，因此可以使用「滚动数组思想」把空间复杂度优化成O(1)。如下的代码中给出的就是这种实现。

复杂度分析
时间复杂度:O(n)。·
空间复杂度:O(1)。

方法二:矩阵快速幂
方法—的时间复杂度是o(n)。使用矩阵快速幂的方法可以降低时间复杂度。
首先我们可以构建这样一个递推关系:

因此只要我们能快速计算矩阵M的n次幂，就可以得到F(n)的值。如果直接求取Mⁿ，时间复杂度是O(n)，可以定义矩阵乘法，然后用快速幂算法来加速这里Mⁿ的求取。

5 我的答案

class Solution {
    
    
    public int fib(int n) {
    
    
        if (n < 2) {
    
    
            return n;
        }
        int p = 0, q = 0, r = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
    
    
            p = q; 
            q = r; 
            r = p + q;
        }
        return r;
    }
}

方法二：

class Solution {
    
    
    public int fib(int n) {
    
    
        if (n < 2) {
    
    
            return n;
        }
        int[][] q = {
    
    {
    
    1, 1}, {
    
    1, 0}};
        int[][] res = pow(q, n - 1);
        return res[0][0];
    }

    public int[][] pow(int[][] a, int n) {
    
    
        int[][] ret = {
    
    {
    
    1, 0}, {
    
    0, 1}};
        while (n > 0) {
    
    
            if ((n & 1) == 1) {
    
    
                ret = multiply(ret, a);
            }
            n >>= 1;
            a = multiply(a, a);
        }
        return ret;
    }

    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
    
    
        int[][] c = new int[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
    
    
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
    
    
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
            }
        }
        return c;
    }
}