什么是树状数组

首先我们搞明白树状数组是用来干嘛的，现在有一个这样的问题：有一个数组a，下标从0到n-1，现在给你w次修改，q次查询，修改的话是修改数组中某一个元素的值；查询的话是查询数组中任意一个区间 [left,right] 的和。

这个问题很常见

首先分析下朴素做法的时间复杂度，修改是O (1) 的时间复杂度，而查询的话是O(n)的复杂度，总体时间复杂度为 O(qn)；
可能你会想到前缀和来优化这个查询，我们也来分析下，查询的话是O(1)的复杂度，而修改的时候修改一个点，那么在之后的所有前缀和都要更新，所以修改的时间复杂度是O(n)，总体时间复杂度还是O(qn)。

接下来我们来看一下树状数组的做法。

这里我们先不管树状数组这种数据结构到底是什么，先来了解下lowbit(x)这个函数，我们也先不要问这个函数到底在树状数组中有什么用；

顾名思义，lowbit这个函数的功能就是求某一个数的二进制表示中最低的一位1，举个例子，x = 6，它的二进制为110，那么lowbit(x)就返回2，因为最后一位1表示2。

在这里，我们提供两种lowbit的实现方法

int lowbit(int x)
{
    return x-(x&(x-1));
}

int lowbit(int x)
{
    return x&-x;
}

树状数组的思想

在树状数组的问题模型中已经有所提及了，就是那两种不同做法的一个综合；

先定义一些东西：arr是原数组，c是新的一个数组，这个数组代表后缀和；

二进制的视角：一个数n，假设n = 6，它的二进制为110，那么我们要求前6项的和是不是可以这样求：

$\sum_{i=1}^{6}=(arr_{1}+arr_{2}+arr_{3}+arr_{4})+(arr_{5}+arr_{6})$

注意括号中的元素个数，是不是4(100)个加2(10)个，和110 = 100 + 10是不是很像，不知你们发现了吗，10就是lowbit(110)的结果，100是lowbit(100)的结果。求和的时候我们总是把 $\sum_{i=1}^{n}$ 拆分成这样的几段区间和来计算，而如何去确定这些区间的起点和长度呢？就是根据n的二进制来的(不懂的可以再看下上面举的例子)，二进制怎么拆的，你就怎么拆分，而拆分二进制就要用到上面说的lowbit函数了。这里也可以顺理成章得给出c数组的表示了。

这里也可以顺理成章得给出c数组的表示了，c[i]表示从第i个元素向前数lowbit(i)个元素，这一段的和，这就是上面说的区间和，只不过这个区间是靠右端点的；你可能又会想，不是说区间是靠右端点的吗，是后缀和啊，那中间的这些区间怎么定义？其实递归定义就好了，比如说

$\sum_{i=1}^{6}=(arr_{1}+arr_{2}+arr_{3}+arr_{4})+(arr_{5}+arr_{6})=\sum_{i=1}^{6}=(arr_{1}+arr_{2}+arr_{3}+arr_{4})+c[6]$

因此我们可以得出 $\sum_{i=1}^{4}=c[4]=c[6-lowbit(6)]$

lowbit(1) = 0001 = 1 即 c[1]代表前一个元素的和
lowbit(2) = 0010 = 2 即 c[2]代表前两个元素的和
lowbit(3) = 0011 = 1 即 c[3]代表前一个元素的和
lowbit(4) = 0100 = 4 即 c[4]代表前四个元素的和
lowbit(5) = 0101 = 1 即 c[5]代表前一个元素的和
lowbit(6) = 0110 = 2 即 c[6]代表前两个元素的和
lowbit(7) = 0111 = 1 即 c[7]代表前一个元素的和
lowbit(8) = 1000 = 8 即 c[8]代表前八个元素的和

树状数组的实现

设计一种数据结构，需要的操作无非就是”增删改查“，这里只讨论查询和修改操作具体是怎么实现的；

查询

这里说的查询是查询任一区间的和，由于区间和具有可加减性，故转化为求前缀和；

查询前缀和刚刚在树状数组的思想中已经说过了，就是把大区间分成几段长度不等的小区间，然后求和。区间的个数为O(logn)，所以查询的时间复杂度为O(logn)。

修改

修改某一位置上的元素的时间复杂度为O(1)，但是要更新c数组，不然查询的时间复杂度就会变高。

更新的时候只要更新修改这个点会影响到的那些后缀和(c数组)，假设现在修改6(110)这个点，依据树状数组的性质，它影响的直系父层就是c[6(110) + lowbit(6(110))] = c[8(1000)]，但是它肯定不是只影响直系父层，上面所有包含这一层和的层都要更新，但是我们把这个更新传递给直系父层c[8],8这个点的直系父层是c[16]，依次类推地更新就行了。

接着我们来看树状数组的实现

给你一个数组 nums ，请你完成两类查询。

其中一类查询要求更新数组 nums 下标对应的值

另一类查询要求返回数组 nums 中索引 left 和索引 right 之间（包含）的nums元素的和，其中 left <= right

class NumArray {
private:
    vector<int> tree;
    vector<int>& nums;
    int lowBit(int x)
    {
        return x&-x;
    }

    void add(int index,int val)//对应修改操作
    {
        while(index < tree.size())
        {
            tree[index] += val;
            index += lowBit(index);
        }
    }

    int prefixSum(int index)//对应查询操作
    {
        int sum = 0;
        while(index > 0)
        {
            sum+=tree[index];
            index -= lowBit(index);
        }
        return sum;
    }
public:
    NumArray(vector<int>& nums):tree(nums.size()+1),nums(nums)
    {
        for(int i=0;i<nums.size();++i)
        {
            add(i+1,nums[i]);
        }
    }
    
    void update(int index, int val) {
        add(index+1,val-nums[index]);
        /*
            这里的 val - nums[index]是什么意思呢？
            假设nums[index]原来的值是x,现在我们要将他修改为y
            那么我们就可以让x加上(y-x)让它变为y
            即 x+(y-x) = y
        */  
        nums[index] = val;
    }
    
    int sumRange(int left, int right) {
        return prefixSum(right+1)-prefixSum(left);
    }
};

查询

修改

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