如何实现归并排序？

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归并排序

归并排序是 分而治之 的排序算法。

划分步骤很简单：将当前数组（元素个数为 N）分成两半，如果 N 是偶数，则将其完全平等划分为两个部分，或者如果 N 是奇数，则一边稍大于一个元素，然后递归地对这两半进行排序。

递归写法

归并排序递归写法的思想是，设定一个函数，函数实现的目的是 让int[] arr在L ~ R位置上有序 ，处理过程是从 L ~ R 上找一个中间位置M，递归调用该函数， 让int[] arr的L ~ M上有序，M+1 ~ R上有序 ，每一次不能往下递归了，便调用 归并 的方法将左右两边的数组合并成一个数组，到最后整个数组便有序了。

因此，归并排序使用递归方法实现的方法是： 整体是递归，左边排好序 + 右边排好序 + merge 让整体有序 。

伪代码理解这一过程：

将每个元素拆分成大小为1的部分

递归地合并相邻的两个数组分区

  i = 左侧开始项 到 右侧最后项 的遍历

    如果左侧第一个值 <= 右侧第一个值

      拷贝左侧第一项的值

    否则： 拷贝右侧部分第一项的值

将元素拷贝进原来的数组中
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代码实现：

public class MergeSort {

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {18, 15, 13, 17, 6, 20, 15, 9};
        System.out.println("排序前：" + Arrays.toString(arr));
        mergeSort(arr);
        System.out.println("排序后：" + Arrays.toString(arr));
    }

    public static void mergeSort(int[] arr) {
        if (arr == null || arr.length < 2) {
            return;
        }
        process(arr, 0, arr.length - 1);
    }

    public static void process(int[] arr, int L, int R) {
        if (L == R) {
            return;
        }
        int M = L + ((R - L) >> 1);
        System.out.println("递归调用 L--M--R:" + L + "--" + M + "--" + R);
        //左边数组递归
        process(arr, L, M);
        //右边数组递归
        process(arr, M + 1, R);
        merge(arr, L, M, R);
    }

    public static void merge(int[] arr, int L, int M, int R) {
        System.out.println("开始归并 arr[" + L + "~" + M + "]和arr[" + (M + 1) + "~" + R + "]两部分数组");
        //申请一个和arr长度一样的辅助数组
        int[] help = new int[R - L + 1];

        //比较两组数组，谁小先拷贝谁到辅助数组，拷贝之后移动数组指针
        //定义数组指针，LP表示左部分数组指针，RP表示右部分数组指针，i表示辅助数组的指针
        int LP = L;
        int RP = M + 1;
        int i = 0;
        //左右两边数组均不能越界
        while (LP <= M && RP <= R) {
            help[i++] = arr[LP] <= arr[RP] ? arr[LP++] : arr[RP++];
        }
        //任何一边的数组要越界了，就把该部分的数写到help数组
        while (LP <= M) {
            help[i++] = arr[LP++];
        }
        while (RP <= R) {
            help[i++] = arr[RP++];
        }
        //写回到原数组
        for (i = 0; i < help.length; i++) {
            arr[L + i] = help[i];
        }
    }
}
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小技巧：

将一个int类型的数乘以2，可以使用位运算 << 左移1位

int类型的数除以2，位运算 >> 右移1位

别问为什么，问就是 位运算就是快 ！

运行结果：

排序前：[18, 15, 13, 17, 6, 20, 15, 9]
递归调用 L--M--R:0--3--7
递归调用 L--M--R:0--1--3
递归调用 L--M--R:0--0--1
开始归并 arr[0~0]和arr[1~1]两部分数组
递归调用 L--M--R:2--2--3
开始归并 arr[2~2]和arr[3~3]两部分数组
开始归并 arr[0~1]和arr[2~3]两部分数组
递归调用 L--M--R:4--5--7
递归调用 L--M--R:4--4--5
开始归并 arr[4~4]和arr[5~5]两部分数组
递归调用 L--M--R:6--6--7
开始归并 arr[6~6]和arr[7~7]两部分数组
开始归并 arr[4~5]和arr[6~7]两部分数组
开始归并 arr[0~3]和arr[4~7]两部分数组
排序后：[6, 9, 13, 15, 15, 17, 18, 20]
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递归函数调用过程，我画了个简图以助理解：

递归函数调用过程

拿代码中的数组分析，过程大概就是这样子滴：

递归归并排序图解

非递归写法

任何递归写法都能转换成非递归写法。

直接上代码：

public static void mergeSort2(int[] arr) {
    if (arr == null || arr.length < 2) {
        return;
    }
    //数组长度
    int N = arr.length;
    //定义每部分参与比较数组的长度，初始长度为1
    int mergeSize = 1;
    //只要mergeSize小于N
    while (mergeSize < N) {
        int L = 0;
        while (L < N) {
            int M = L + mergeSize - 1;
            if (M >= N) {
                break;
            }
            int R = Math.min(M + mergeSize, N - 1);
            merge(arr, L, M, R);
            L = R + 1;
        }
        // 为什么需要这个？主要是为了防止溢出，int的最大值是21亿多（2^31-1），
        // 假如此时mergeSize是20亿，运行下面mergeSize*2的时候就会溢出
        if (mergeSize > N / 2) {
            break;
        }
        mergeSize <<= 1;
    }
}
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其中的merge方法，还是前面递归方式调用的merge：

public static void merge(int[] arr, int L, int M, int R) {
    System.out.println("开始归并 arr[" + L + "~" + M + "]和arr[" + (M + 1) + "~" + R + "]两部分数组");
    //申请一个和arr长度一样的辅助数组
    int[] help = new int[R - L + 1];

    //比较两组数组，谁小先拷贝谁到辅助数组，拷贝之后移动数组指针
    //定义数组指针，LP表示左部分数组指针，RP表示右部分数组指针，i表示辅助数组的指针
    int LP = L;
    int RP = M + 1;
    int i = 0;
    //左右两边数组均不能越界
    while (LP <= M && RP <= R) {
        help[i++] = arr[LP] <= arr[RP] ? arr[LP++] : arr[RP++];
    }
    //任何一边的数组要越界了，就把该部分的数写到help数组
    while (LP <= M) {
        help[i++] = arr[LP++];
    }
    while (RP <= R) {
        help[i++] = arr[RP++];
    }
    //写回到原数组
    for (i = 0; i < help.length; i++) {
        arr[L + i] = help[i];
    }
}
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运行结果：

排序前：[18, 15, 13, 17, 6, 20, 15, 9]
开始归并 arr[0~0]和arr[1~1]两部分数组
开始归并 arr[2~2]和arr[3~3]两部分数组
开始归并 arr[4~4]和arr[5~5]两部分数组
开始归并 arr[6~6]和arr[7~7]两部分数组
开始归并 arr[0~1]和arr[2~3]两部分数组
开始归并 arr[4~5]和arr[6~7]两部分数组
开始归并 arr[0~3]和arr[4~7]两部分数组
排序后：[6, 9, 13, 15, 15, 17, 18, 20]
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这里只是归并排序的非递归写法，思想也是分而治之！关键还是 merge 方法。

针对代码中的数组 int[] arr={18, 15, 13, 17, 6, 20, 15, 9} ，其排序过程动图演示：

归并排序动态演示

归并排序的时间复杂度

归并排序时间复杂度

Level 0： $2 ^ 0 = 1$ 次调用 merge() 和 $N / 2 ^ 1$ 个元素，时间： $O（2 ^ 0 * 2 * N / 2 ^ 1）= O（N）$

Level 1： $2 ^ 1 = 2$ 次调用 merge() 与 $N / 2 ^ 2$ 个元素， $O（2 ^ 1 * 2 * N / 2 ^ 2）= O（N）$

Level 2： $2 ^ 2 = 4$ 次调用 merge() 与 $N / 2 ^ 3$ 个元素， $O（2 ^ 2 * 2 * N / 2 ^ 3）= O（N）$

...

有 log(N) 个层，每层都执行 O(N) 次工作，因此总体时间复杂度为 $O(NlogN)$ 。

拓展：递归计算时间复杂度公式

递归，计算时间复杂度有一个Master公式：

形如：

T(N) = a * T(N/b) + O(N^d)(其中的a、b、d都是常数)

的递归函数，可以直接通过 Master 公式来确定时间复杂度。

如果 log(b,a) < d，复杂度为O(N^d)
如果 log(b,a) > d，复杂度为O(N^log(b,a))
如果 log(b,a) == d，复杂度为O(N^d * logN)

我们的归并排序可以用下面的公式来计算：

T(N) = 2*T(N/2) + O(N^1)

根据master可知推导出时间复杂度为 $O(N×logN)$

另外，merge 过程需要辅助数组，所以额外空间复杂度为 $O(N)$ 。

归并排序的实质是把比较行为变成了有序信息并传递，比 $O(N^2)$ 的排序快。

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