目录
牢记投骰子类问题的解决方法：动态规划
首先来看一道经典的问题：n个骰子的点数
题目是这样的：把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。
示例 1:
输入: 1 输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]
示例 2:
输入: 2 输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]
预备知识
给定 n 个骰子，可得：
每个骰子摇到 1 至 6 的概率相等，都为
。
将每个骰子的点数看作独立情况，共有
种「点数组合」。例如 n = 2 时的点数组合为：
(1,1), (1,2), ... , (2, 1), (2, 2), ... , (6,1), ... , (6, 6)
- n 个骰子「点数和」的范围为 [n, 6n]，数量为 5n+1 种。
设输入 n 个骰子的解（即概率列表）为 f(n) ，其中「点数和」 x 的概率为 f(n, x)。
当添加骰子的点数为 1 时，前 n - 1 个骰子的点数和应为 x - 1，方可组成点数和 x ；同理，当此骰子为 2 时，前 n - 1 个骰子应为 x - 2 ；以此类推，直至此骰子点数为 6 。将这 6 种情况的概率相加，即可得到概率 f(n, x)。递推公式如下所示：
根据以上分析，得知通过子问题的解 f(n - 1)可递推计算出 f(n)，而输入一个骰子的解 f(1) 已知，因此可通过解 f(1) 依次递推出任意解 f(n) 。
观察发现，以上递推公式虽然可行，但 f(n - 1, x - i) 中的 x - i 会有越界问题。例如，若希望递推计算 f(2, 2) ，由于一个骰子的点数和范围为 [1, 6] ，因此只应求和 f(1, 1) ，即 f(1, 0) , f(1, -1) , ... , f(1, -4) 皆无意义。此越界问题导致代码编写的难度提升。
所以为了计算 f(n, x) ，将所有与之有关的情况求和；而倘若改换为 “正向” 的递推公式，便可解决越界问题。
逆向递推（有越界问题）：为求f(n,x)，将f(n-1)中所有与其有关的概率项求和。
正向递推（无越界问题）：遍历f(n-1)，统计每项f(n-1,i)对概率f(n,i+1)，f(n,i+2)，...，f(n,i+6)产生的贡献。
具体来看，由于新增骰子的点数只可能为 1 至 6 ，因此概率 f(n - 1, x) 仅与 f(n, x + 1) , f(n, x + 2), ... , f(n, x + 6) 相关。因而，遍历 f(n - 1) 中各点数和的概率，并将其相加至 f(n) 中所有相关项，即可完成 f(n - 1) 至 f(n) 的递推。
通常做法是声明一个二维数组 dp ，dp[i][j] 代表前 i 个骰子的点数和 j 的概率，并执行状态转移。而由于 dp[i] 仅由 dp[i-1] 递推得出，为降低空间复杂度，只建立两个一维组 dp , tmp 交替前进即可。
我们再来看另一个问题：掷骰子的N种方法
题目：这里有 d 个一样的骰子，每个骰子上都有 f 个面，分别标号为 1, 2, ..., f。
我们约定：掷骰子的得到总点数为各骰子面朝上的数字的总和。
如果需要掷出的总点数为 target，请你计算出有多少种不同的组合情况（所有的组合情况总共有 f^d 种），模 10^9 + 7 后返回。
示例 1：
输入：d = 1, f = 6, target = 3 输出：1
示例 2：
输入：d = 2, f = 6, target = 7 输出：6
示例 3：
输入：d = 2, f = 5, target = 10 输出：1
这道题的处理方法其实和上一道题一样，只是做了稍微的变通。
首先我们定义 dp[i][j] 代表投掷 i 个骰子和为 j。而dp[i][j] 和 dp[i-1] 的关系是，当第 i 次我投的点数为k（1<= k <= f），那么前 i-1次和为 j-k，对应的是 dp[i-1][j-k]。
那么最终就有 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j-2] + ... + dp[i-1][j-f]；
