1～n 整数中 1 出现的次数

题目描述

输入一个整数 n ，求1～n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如，输入12，1～12这些整数中包含1 的数字有1、10、11和12，1一共出现了5次。

示例 1：

输入：n = 1
输出：5 (分别是1 10 11 12)

示例 2：

输入：n = 13
输出：6 (分别是1 10 11 12 13)

思路

首先我们知道，肯定可以用求模取余的方法来获取1~n这n个数每个数位上的数，如果是1的话则ans+1，但我们有更巧妙的方法。

根据题目要求，我们需要统计 1~n 范围内所有整数中，数字 1 出现的个数。由于 n 的范围最大为 $2^{31}-1$ ，它是一个 10 位整数，因此我们可以考虑枚举每一个数位（个位，十位，百位等），分别统计该数位上数字 1 出现的次数，最后将所有数位统计出的次数进行累加即可得到答案。

为了直观地叙述我们的算法，下面我们以百位进行举例，对于几个不同的 n 手动计算出答案，随后扩展到任意数位。

以 n = 1234567 为例，我们需要统计百位上数字 1 出现的次数。我们知道，对于从 0 开始的 1000 个数（即000~999），百位上的数字 1 会出现 100 次，即数的最后三位每 1000个数都呈现 [000, 999] 的循环，其中的 [100, 199] 在「百位」上的数字为 1，共有 100 个。

而 n 拥有 1234 个这样的循环，每个循环百位上都出现了 100 次 1，这样就一共出现了 1234 ×100 次 1。如果使用公式表示，那么这部分出现的 1 的次数为：

$\frac{n}{1000}*100$

$\frac{n}{1000}$ 表示 n 拥有的完整的 [000, 999] 循环的数量。

而对于剩余不在完整的循环中的部分，即n的最后三位数567（即n%1000），这三位数的范围为000~567。我们记 $n^{'} = n mod 1000$ ，这一部分在百位上出现1的次数可以通过分类讨论得出：

当 $n^{'}< 100$ 时，百位上不会出现1；
当 $100\leq n^{'}< 200$ 时，百位上出现1的范围为 100 ~ $n^{'}$ ，所以出现了 $n^{'}-100+1$ 次1；
当 $n^{'}\geq 200$ 时，百位上出现了全部的100次1。

可以发现，当 $n^{'}< 100$ ， $n^{'}-100+1$ 的值小于等于 0，而我们希望得到 0 的答案； $n^{'}\geq 200$ 时， $n^{'}-100+1$ 的值大于 100，而我们希望得到 100 的答案，因此我们可以总结归纳出这一部分在百位上 1 的出现次数为：

$min(max(n^{'}-100+1,0),100)$

此时，我们就得到了 1~n 中百位上数字 1 出现的次数为：

$\frac{n}{1000}*100+min(max(n mod 1000-100+1,0),100)$

我们用类似的方法可以计算出在其它数位上数字 11 出现的次数。如果该数位可以表示为 $10^{k}$ （例如 k=0, 1, 2 分别表示个位，十位，百位），那么数字 1 出现的次数为：

$\frac{n}{10^{k+1}}*10^{k}+min(max(n mod 10^{k+1}-10^{k}+1,0),10^{k})$

Demo

class Solution {
public:
    int countDigitOne(int n) {
        int ans = 0;
        long long res = 1;
        for(int k=0;n>=res;++k)
        {
            ans+=(n/(res*10))*res+min(max(n%(res*10)-res+1,0LL),res);
            res*=10;
        }
        return ans;
    }
};

1～n 整数中 1 出现的次数

猜你喜欢