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动态规划(Dynamic Programming)是一种分阶段求解决策问题的数学思想,它通过把原问题分解为简单的子问题来解决复杂问题。
杨辉三角
给定一个非负整数 numRows
, 生成「杨辉三角」的前 numRows
行。
在「杨辉三角」中,每个数是它左上方和右上方的数的和。
示例 1:
输入: numRows = 5
输出: [[1],[1,1],[1,2,1],[1,3,3,1],[1,4,6,4,1]]
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示例 2:
输入: numRows = 1
输出: [[1]]
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杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。
它有下面几个性质:
- 每行数字左右对称,由 1 开始逐渐变大再变小,最终变回 1,每行的第一个数和最后一个数都是1,即
dp[i][0] = 1
并且dp[i][i] = 1
- 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。即
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]
解法1
fun generate(numRows: Int): List<List<Int>> {
val dp = Array(numRows) { IntArray(numRows) }
for (index in 0 until numRows) {
dp[index][0] = 1
dp[index][index] = 1
}
for (i in 2 until numRows) {
for (j in 1 until i) {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j]
}
}
val result = ArrayList<ArrayList<Int>>()
dp.forEach {
val r = ArrayList<Int>()
it.forEach {
if (it != 0) {
r.add(it)
}
}
result.add(r)
}
return result
}
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解法2
- 根据实例可以看出它的每一个数组长度都不相同,可以根据第 n 行就定多长就行了。
- 对于每行的数字, 第一行和第二行都是 1,其他行的开头和结尾都是 1。直接判断当 j == 0 || j == n-1 时,赋值为 1。
public List<List<Integer>> generate(int numRows) {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < numRows; i++) {
List<Integer> item = new ArrayList<>();
for (int j = 0; j <= i; j++) {
if (j == 0 || j == i) {
item.add(1);
continue;
}
List<Integer> pre = result.get(i - 1);
item.add(pre.get(j - 1) + pre.get(j));
}
result.add(item);
}
return result;
}
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复杂度
- 时间复杂度:O(n^2),需要遍历生成每一个数值。
- 空间复杂度:O(n^2),需要存储每一个数。