此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
自动控制原理(第七版)课后习题精选
自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础
第四章：根轨迹法
Example 4.1
系统的开环传递函数为： G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 4 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{(s+1)(s+2)(s+4)} G(s)H(s)=(s+1)(s+2)(s+4)K∗，证明： s 1 = − 1 + j 3 s_1=-1+{\rm j}\sqrt{3} s1=−1+j3点在根轨迹上，并求出对应的 K ∗ K^* K∗和系统开环增益 K K K.
证明：
根据系统的开环传递函数可知，系统的开环极点为： p 1 = − 1 ， p 2 = − 2 ， p 3 = − 4 p_1=-1，p_2=-2，p_3=-4 p1=−1，p2=−2，p3=−4.
由闭环根轨迹的相角条件： − θ s p 1 − θ s p 2 − θ s p 3 = ( 2 k + 1 ) π -\theta_{sp_1}-\theta_{sp_2}-\theta_{sp_3}=(2k+1)\pi −θsp1−θsp2−θsp3=(2k+1)π可得，当 s 1 = − 1 + j 3 s_1=-1+{\rm j}\sqrt{3} s1=−1+j3时，
− θ s p 1 − θ s p 2 − θ s p 3 = − 90 ° − arctan ( 3 / 1 ) − arctan ( 3 / 3 ) = − 90 ° − 60 ° − 30 ° = − 180 ° -\theta_{sp_1}-\theta_{sp_2}-\theta_{sp_3}=-90°-\arctan(\sqrt{3}/1)-\arctan(\sqrt{3}/3)=-90°-60°-30°=-180° −θsp1−θsp2−θsp3=−90°−arctan(3/1)−arctan(3/3)=−90°−60°−30°=−180°
故 s 1 = − 1 + j 3 s_1=-1+{\rm j}\sqrt{3} s1=−1+j3点在根轨迹上.
由闭环根轨迹的幅值条件可知，此时：
K ∗ = ∣ s 1 − p 1 ∣ ⋅ ∣ s 1 − p 2 ∣ ⋅ ∣ s 1 − p 3 ∣ = 12 K^*=|s_1-p_1|·|s_1-p_2|·|s_1-p_3|=12 K∗=∣s1−p1∣⋅∣s1−p2∣⋅∣s1−p3∣=12
即相应的根轨迹增益 K ∗ = 12 K^*=12 K∗=12和系统开环增益： K = K ∗ / 12 = 1.5 K=K^*/12=1.5 K=K∗/12=1.5。
Example 4.2
设系统开环传递函数为： G ( s ) = K ∗ ( s + 1 ) s 2 + s + 1 G(s)=\displaystyle\frac{K^*(s+1)}{s^2+s+1} G(s)=s2+s+1K∗(s+1)，用解析法证明： K ∗ K^* K∗从零变化到无穷大时，根轨迹的复数部分为圆弧.
证明：
由系统开环传递函数知，该系统的闭环特征方程为：
D ( s ) = s 2 + s + 1 + K ∗ ( s + 1 ) = s 2 + ( 1 + K ∗ ) s + ( 1 + K ∗ ) = 0 D(s)=s^2+s+1+K^*(s+1)=s^2+(1+K^*)s+(1+K^*)=0 D(s)=s2+s+1+K∗(s+1)=s2+(1+K∗)s+(1+K∗)=0
解得：
s 1 , 2 = − 1 2 ( 1 + K ∗ ) ± j 2 4 ( 1 + K ∗ ) − ( 1 + K ∗ ) 2 s_{1,2}=-\frac{1}{2}(1+K^*)±\frac{
{\rm j}}{2}\sqrt{4(1+K^*)-(1+K^*)^2} s1,2=−21(1+K∗)±2j4(1+K∗)−(1+K∗)2
令
x = − 1 2 ( 1 + K ∗ ) ， y = 1 2 4 ( 1 + K ∗ ) − ( 1 + K ∗ ) 2 x=-\frac{1}{2}(1+K^*)，y=\frac{1}{2}\sqrt{4(1+K^*)-(1+K^*)^2} x=−21(1+K∗)，y=214(1+K∗)−(1+K∗)2
由： x = − 1 2 ( 1 + K ∗ ) x=-\displaystyle\frac{1}{2}(1+K^*) x=−21(1+K∗)可得， K ∗ = − 1 − 2 x K^*=-1-2x K∗=−1−2x，将其代入 y y y的表达式，有：
( x + 1 ) 2 + y 2 = 1 (x+1)^2+y^2=1 (x+1)2+y2=1
证得复数根轨迹部分是以 ( − 1 , j 0 ) (-1,{\rm j}0) (−1,j0)为圆心，以 1 1 1为半径的一个圆.
Example 4.3
已知反馈系统开环传递函数为： G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s 2 + 2 s + 2 ) ( s + 5 ) ( s 2 + s + 4 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*(s^2+2s+2)}{(s+5)(s^2+s+4)} G(s)H(s)=(s+5)(s2+s+4)K∗(s2+2s+2)，计算起始角和终止角.
解：
系统的传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K ∗ ( s 2 + 2 s + 2 ) ( s + 5 ) ( s 2 + s + 4 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*(s^2+2s+2)}{(s+5)(s^2+s+4)} G(s)H(s)=(s+5)(s2+s+4)K∗(s2+2s+2)
则开环极点为：
p 1 = − 5 ， p 2 = − 0.5 + j 1.94 ， p 3 = − 0.5 − j 1.94 p_1=-5，p_2=-0.5+{\rm j}1.94，p_3=-0.5-{\rm j}1.94 p1=−5，p2=−0.5+j1.94，p3=−0.5−j1.94
开环零点为：
z 1 = − 1 + j ， z 2 = − 1 − j z_1=-1+{\rm j}，z_2=-1-{\rm j} z1=−1+j，z2=−1−j
根轨迹起始角：
θ p 2 = − 180 ° + φ z 1 p 2 + φ z 2 p 2 − θ p 1 p 2 − θ p 3 p 2 = − 180 ° + arctan ( 0.94 / 0.5 ) + arctan ( 2.94 / 0.5 ) − arctan ( 1.94 / 4.5 ) − 90 ° = − 150.98 ° θ p 3 = 150.98 ° \begin{aligned} \theta_{p_2}&=-180°+\varphi_{z_1p_2}+\varphi_{z_2p_2}-\theta_{p_1p_2}-\theta_{p_3p_2}\\\\ &=-180°+\arctan(0.94/0.5)+\arctan(2.94/0.5)-\arctan(1.94/4.5)-90°\\\\ &=-150.98°\\\\ \theta_{p_3}&=150.98° \end{aligned} θp2θp3=−180°+φz1p2+φz2p2−θp1p2−θp3p2=−180°+arctan(0.94/0.5)+arctan(2.94/0.5)−arctan(1.94/4.5)−90°=−150.98°=150.98°
根轨迹终止角：
φ z 1 = 180 ° + θ p 1 z 1 + θ p 2 z 1 + θ p 3 z 1 − φ z 2 z 1 = 180 ° + arctan ( 1 / 4 ) + [ − 90 ° − arctan ( 0.5 / 0.94 ) ] + [ 90 ° + arctan ( 0.5 / 2.94 ) ] − 90 ° = 85.68 ° φ z 2 = − 85.68 ° \begin{aligned} \varphi_{z_1}&=180°+\theta_{p_1z_1}+\theta_{p_2z_1}+\theta_{p_3z_1}-\varphi_{z_2z_1}\\\\ &=180°+\arctan(1/4)+[-90°-\arctan(0.5/0.94)]+[90°+\arctan(0.5/2.94)]-90°\\\\ &=85.68°\\\\ \varphi_{z_2}&=-85.68° \end{aligned} φz1φz2=180°+θp1z1+θp2z1+θp3z1−φz2z1=180°+arctan(1/4)+[−90°−arctan(0.5/0.94)]+[90°+arctan(0.5/2.94)]−90°=85.68°=−85.68°
Example 4.4
设系统开环传递函数为： G ( s ) H ( s ) = K ( a s + 1 ) ( s + 1 ) ( s + 2 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K(as+1)}{(s+1)(s+2)} G(s)H(s)=(s+1)(s+2)K(as+1)，其中： 0 < a 2 ≤ 1 9 0<a^2≤\displaystyle\frac{1}{9} 0<a2≤91.证明： K K K从零变化到无穷大时，系统根轨迹的复数部分为圆，并确定圆心和半径.
证明：
由系统的开环传递函数可知，该系统的闭环特征方程为：
D ( s ) = ( s + 1 ) ( s + 2 ) + K ( a s + 1 ) = s 2 + ( 3 + a K ) s + ( 2 + K ) = 0 D(s)=(s+1)(s+2)+K(as+1)=s^2+(3+aK)s+(2+K)=0 D(s)=(s+1)(s+2)+K(as+1)=s2+(3+aK)s+(2+K)=0
解得：
s 1 , 2 = − 1 2 ( 3 + a K ) ± j 2 4 ( 2 + K ) − ( 3 + a K ) 2 s_{1,2}=-\frac{1}{2}(3+aK)±\frac{
{\rm j}}{2}\sqrt{4(2+K)-(3+aK)^2} s1,2=−21(3+aK)±2j4(2+K)−(3+aK)2
令：
x = − 1 2 ( 3 + a K ) ， y = 1 2 4 ( 2 + K ) − ( 3 + a K ) 2 x=-\frac{1}{2}(3+aK)，y=\frac{1}{2}\sqrt{4(2+K)-(3+aK)^2} x=−21(3+aK)，y=214(2+K)−(3+aK)2
由： x = − 1 2 ( 3 + a K ) x=-\displaystyle\frac{1}{2}(3+aK) x=−21(3+aK)可得， K = − ( 2 a x + 3 a ) K=-\left(\displaystyle\frac{2}{a}x+\displaystyle\frac{3}{a}\right) K=−(a2x+a3)，将其代入 y y y的表达式，可得：
( x + 1 a ) 2 + y 2 = 2 + 1 a 2 − 3 a \left(x+\displaystyle\frac{1}{a}\right)^2+y^2=2+\frac{1}{a^2}-\frac{3}{a} (x+a1)2+y2=2+a21−a3
证得复数根轨迹部分是以： ( − 1 a ， j 0 ) \left(-\displaystyle\frac{1}{a}，{\rm j}0\right) (−a1，j0)为圆心，以 2 + 1 a 2 − 3 a \sqrt{2+\displaystyle\frac{1}{a^2}-\displaystyle\frac{3}{a}} 2+a21−a3为半径的一个圆.
【不同 a a a值的根轨迹图】
Example 4.5
已知控制系统为： G ( s ) = K ( s 2 + 6 s + b ) s 2 + 2 s + b ， H ( s ) = 1 ， b ≥ 10 G(s)=\displaystyle\frac{K(s^2+6s+b)}{s^2+2s+b}，H(s)=1，b≥10 G(s)=s2+2s+bK(s2+6s+b)，H(s)=1，b≥10.证明该系统的闭环根轨迹以原点为圆心， b \sqrt{b} b为半径的圆弧.若根轨迹的起始角为： ± 198.4 ° ±198.4° ±198.4°，确定参数 b b b的值.
证明：
由系统的开环传递函数可知，该系统的闭环特征方程为：
D ( s ) = s 2 + 2 s + b + K ( s 2 + 6 s + b ) = ( 1 + K ) s 2 + ( 2 + 6 K ) s + ( b + b K ) = 0 \begin{aligned} D(s)&=s^2+2s+b+K(s^2+6s+b)=(1+K)s^2+(2+6K)s+(b+bK)=0 \end{aligned} D(s)=s2+2s+b+K(s2+6s+b)=(1+K)s2+(2+6K)s+(b+bK)=0
解得：
s 1 , 2 = − 2 + 6 K 2 ( 1 + K ) ± j 4 ( 1 + K ) ( b + b K ) − ( 2 + 6 K ) 2 2 ( 1 + K ) s_{1,2}=-\frac{2+6K}{2(1+K)}±{\rm j}\frac{\sqrt{4(1+K)(b+bK)-(2+6K)^2}}{2(1+K)} s1,2=−2(1+K)2+6K±j2(1+K)4(1+K)(b+bK)−(2+6K)2
令：
x = − 2 + 6 K 2 ( 1 + K ) ， y = 4 ( 1 + K ) ( b + b K ) − ( 2 + 6 K ) 2 2 ( 1 + K ) x=-\frac{2+6K}{2(1+K)}，y=\frac{\sqrt{4(1+K)(b+bK)-(2+6K)^2}}{2(1+K)} x=−2(1+K)2+6K，y=2(1+K)4(1+K)(b+bK)−(2+6K)2
有
x 2 + y 2 = b x^2+y^2=b x2+y2=b
由于
lim K → ∞ x = lim K → ∞ [ − 2 + 6 K 2 ( 1 + K ) ] = − 3 \lim_{K\to\infty}x=\lim_{K\to\infty}\left[-\frac{2+6K}{2(1+K)}\right]=-3 K→∞limx=K→∞lim[−2(1+K)2+6K]=−3
故该系统的闭环根轨迹是以原点为圆心， b \sqrt{b} b为半径的圆弧.
由系统的开环传递函数可得该系统的开环零极点：
p 1 = − 1 + j b − 1 ， p 2 = − 1 − j b − 1 ， z 1 = − 3 + j b − 9 ， z 2 = − 3 − j b − 9 p_1=-1+{\rm j}\sqrt{b-1}，p_2=-1-{\rm j}\sqrt{b-1}，z_1=-3+{\rm j}\sqrt{b-9}，z_2=-3-{\rm j}\sqrt{b-9} p1=−1+jb−1，p2=−1−jb−1，z1=−3+jb−9，z2=−3−jb−9
则根轨迹的起始角为：
θ p 1 = 180 ° + φ z 1 p 1 + φ z 2 p 1 − θ p 2 p 1 = 180 ° + arctan ( b − 1 − b − 9 2 ) + arctan ( b − 1 + b − 9 2 ) − 90 ° \begin{aligned} \theta_{p_1}&=180°+\varphi_{z_1p_1}+\varphi_{z_2p_1}-\theta_{p_2p_1}\\\\ &=180°+\arctan\left(\displaystyle\frac{\sqrt{b-1}-\sqrt{b-9}}{2}\right)+\arctan\left(\displaystyle\frac{\sqrt{b-1}+\sqrt{b-9}}{2}\right)-90° \end{aligned} θp1=180°+φz1p1+φz2p1−θp2p1=180°+arctan(2b−1−b−9)+arctan(2b−1+b−9)−90°
根据题意可知， θ p 1 = 198.4 ° \theta_{p_1}=198.4° θp1=198.4°，即：
arctan ( b − 1 − b − 9 2 ) + arctan ( b − 1 + b − 9 2 ) = 108.4 ° \arctan\left(\displaystyle\frac{\sqrt{b-1}-\sqrt{b-9}}{2}\right)+\arctan\left(\displaystyle\frac{\sqrt{b-1}+\sqrt{b-9}}{2}\right)=108.4° arctan(2b−1−b−9)+arctan(2b−1+b−9)=108.4°
因
tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α ⋅ tan β \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha·\tan\beta} tan(α+β)=1−tanα⋅tanβtanα+tanβ
故有：
b − 1 − b − 9 2 + b − 1 + b − 9 2 1 − b − 1 − b − 9 2 ⋅ b − 1 + b − 9 2 = tan 108.4 ° \frac{\displaystyle\frac{\sqrt{b-1}-\sqrt{b-9}}{2}+\displaystyle\frac{\sqrt{b-1}+\sqrt{b-9}}{2}}{1-\displaystyle\frac{\sqrt{b-1}-\sqrt{b-9}}{2}·\displaystyle\frac{\sqrt{b-1}+\sqrt{b-9}}{2}}=\tan108.4° 1−2b−1−b−9⋅2b−1+b−92b−1−b−9+2b−1+b−9=tan108.4°
有
− b − 1 = − 3 ⇒ b = 10 -\sqrt{b-1}=-3\Rightarrow{b=10} −b−1=−3⇒b=10
Example 4.6
设单位反馈控制系统的开环传递函数为： G ( s ) = K s ( 0.2 s + 1 ) ( 0.5 s + 1 ) G(s)=\displaystyle\frac{K}{s(0.2s+1)(0.5s+1)} G(s)=s(0.2s+1)(0.5s+1)K，绘制概略闭环根轨迹图.
解：
系统的开环传递函数为：
G ( s ) = K s ( 0.2 s + 1 ) ( 0.5 s + 1 ) = 10 K s ( s + 2 ) ( s + 5 ) G(s)=\displaystyle\frac{K}{s(0.2s+1)(0.5s+1)}=\frac{10K}{s(s+2)(s+5)} G(s)=s(0.2s+1)(0.5s+1)K=s(s+2)(s+5)10K
令 K ∗ = 10 K K^*=10K K∗=10K， K ∗ K^* K∗为根轨迹增益.
-
实轴上的根轨迹： [ 0 , − 2 ] ， [ − 5 , − ∞ ) [0,-2]，[-5,-\infty) [0,−2]，[−5,−∞).
-
根轨迹的渐近线： σ a = 0 − 2 − 5 3 = − 7 3 ， φ a = ± π 3 ， π \sigma_a=\displaystyle\frac{0-2-5}{3}=-\displaystyle\frac{7}{3}，\varphi_a=±\displaystyle\frac{\pi}{3}，\pi σa=30−2−5=−37，φa=±3π，π.
-
根轨迹的分离点：根轨迹分离点坐标满足
1 d + 1 d + 2 + 1 d + 5 = 0 ⇒ d 1 = − 0.88 ， d 2 = − 3.79 ( 舍去 ) \frac{1}{d}+\frac{1}{d+2}+\frac{1}{d+5}=0\Rightarrow{d_1=-0.88，d_2=-3.79(舍去)} d1+d+21+d+51=0⇒d1=−0.88，d2=−3.79(舍去)
即分离点的坐标为： d = − 0.88 d=-0.88 d=−0.88。 -
根轨迹与虚轴的交点：由系统的开环传递函数可知系统的闭环特征方程为
D ( s ) = s ( s + 5 ) ( s + 2 ) + K ∗ = s 3 + 7 s 2 + 10 s + K ∗ = 0 D(s)=s(s+5)(s+2)+K^*=s^3+7s^2+10s+K^*=0 D(s)=s(s+5)(s+2)+K∗=s3+7s2+10s+K∗=0
令 s = j ω s={\rm j}\omega s=jω，将其代入特征方程：
( j ω ) 3 + 7 ( j ω ) 2 + 10 ( j ω ) + K ∗ = 0 ({\rm j}\omega)^3+7({\rm j}\omega)^2+10({\rm j}\omega)+K^*=0 (jω)3+7(jω)2+10(jω)+K∗=0
即
{ − 7 ω 2 + K ∗ = 0 − ω 3 + 10 ω = 0 ⇒ ω = ± 3.16 ， K ∗ = 70 ，其中： ω ≠ 0 \begin{cases} &-7\omega^2+K^*=0\\ &-\omega^3+10\omega=0 \end{cases}\Rightarrow \omega=±3.16，K^*=70，其中：\omega≠0 { −7ω2+K∗=0−ω3+10ω=0⇒ω=±3.16，K∗=70，其中：ω=0
则根轨迹与虚轴的交点为： ± j 3.16 ±{\rm j}3.16 ±j3.16。 -
概略根轨迹图
Example 4.7
已知单位反馈控制系统的开环传递函数： G ( s ) = K ∗ ( s + 2 ) s 2 + 2 s + 4 G(s)=\displaystyle\frac{K^*(s+2)}{s^2+2s+4} G(s)=s2+2s+4K∗(s+2)，绘制概略闭环根轨迹图(要求计算起始角和终止角).
解：
系统的开环传递函数为：
G ( s ) = K ∗ ( s + 2 ) s 2 + 2 s + 4 = K ∗ ( s + 2 ) ( s + 1 + j 3 ) ( s + 1 − j 3 ) G(s)=\displaystyle\frac{K^*(s+2)}{s^2+2s+4}=\frac{K^*(s+2)}{(s+1+{\rm j}\sqrt{3})(s+1-{\rm j}\sqrt{3})} G(s)=s2+2s+4K∗(s+2)=(s+1+j3)(s+1−j3)K∗(s+2)
-
实轴上的根轨迹： [ − 2 ， − ∞ ) [-2，-\infty) [−2，−∞).
-
根轨迹的分离点：根轨迹的分离点满足
1 d + 1 + j 3 + 1 d + 1 − j 3 = 1 d + 2 \frac{1}{d+1+{\rm j}\sqrt{3}}+\frac{1}{d+1-{\rm j}\sqrt{3}}=\frac{1}{d+2} d+1+j31+d+1−j31=d+21
即
d 2 + 4 d = 0 ⇒ d 1 = − 4 ， d 2 = 0 ( 舍去 ) d^2+4d=0\Rightarrow{d_1=-4，d_2=0(舍去)} d2+4d=0⇒d1=−4，d2=0(舍去)
故分离点坐标为： d = − 4 d=-4 d=−4. -
根轨迹的起始角
θ p 1 = 180 ° + φ z 1 p 1 − θ p 2 p 1 = 180 ° + 60 ° − 90 ° = 150 ° θ p 2 = − 150 ° \begin{aligned} &\theta_{p_1}=180°+\varphi_{z_1p_1}-\theta_{p_2p_1}=180°+60°-90°=150°\\\\ &\theta_{p_2}=-150° \end{aligned} θp1=180°+φz1p1−θp2p1=180°+60°−90°=150°θp2=−150° -
概略根轨迹
Example 4.8
设闭环系统根轨迹如下图所示，确定下述情况下开环根轨迹增益 K ∗ K^* K∗的范围：
- 闭环系统有复数极点；
- 闭环系统不稳定；
- 只有一个闭环极点为实数；
解：
- 闭环系统有复数极点情况下，开环根轨迹增益 K ∗ K^* K∗的范围为： 0 < K ∗ < K 3 ∗ 0<K^*<K_3^* 0<K∗<K3∗；
- 闭环系统不稳定情况下，开环根轨迹增益 K ∗ K^* K∗的范围为： 0 < K ∗ < K 1 ∗ ， 0 < K ∗ < K 2 ∗ 0<K^*<K_1^*，0<K^*<K_2^* 0<K∗<K1∗，0<K∗<K2∗；由于 K 1 ∗ > K 2 ∗ K_1^*>K_2^* K1∗>K2∗，故 0 < K ∗ < K 2 ∗ 0<K^*<K_2^* 0<K∗<K2∗时闭环系统不稳定；
- 只有一个闭环极点为实数情况下，开环根轨迹增益 K ∗ K^* K∗的范围为： 0 < K ∗ < K 3 ∗ 0<K^*<K_3^* 0<K∗<K3∗；
Example 4.9
已知系统开环传递函数为： G ( s ) H ( s ) = K ∗ s ( s + 1 ) ( s + 4 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{s(s+1)(s+4)} G(s)H(s)=s(s+1)(s+4)K∗，绘制概略常规根轨迹，并确定使闭环系统稳定的 K ∗ K^* K∗范围.
解：
已知系统开环传递函数：
G ( s ) H ( s ) = K ∗ s ( s + 1 ) ( s + 4 ) G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{s(s+1)(s+4)} G(s)H(s)=s(s+1)(s+4)K∗
-
实轴上的根轨迹： [ 0 , − 1 ] ， [ − 4 , − ∞ ) [0,-1]，[-4,-\infty) [0,−1]，[−4,−∞)；
-
根轨迹的渐近线： σ a = − 1 − 4 3 = − 1.67 ， φ a = ± π 3 ， π \sigma_a=\displaystyle\frac{-1-4}{3}=-1.67，\varphi_a=±\displaystyle\frac{\pi}{3}，\pi σa=3−1−4=−1.67，φa=±3π，π；
-
根轨迹的分离点：根轨迹的分离点满足
1 d + 1 d + 1 + 1 d + 4 = 0 \frac{1}{d}+\frac{1}{d+1}+\frac{1}{d+4}=0 d1+d+11+d+41=0
解得：
d 1 = − 0.465 ， d 2 = − 2.868 ( 舍去 ) d_1=-0.465，d_2=-2.868(舍去) d1=−0.465，d2=−2.868(舍去)
故根轨迹分离点坐标为： d = − 0.465 d=-0.465 d=−0.465； -
根轨迹与虚轴的交点：由系统开环传递函数可得系统闭环特征方程为
D ( s ) = s ( s + 1 ) ( s + 4 ) + K ∗ = s 3 + 5 s 2 + 4 s + K ∗ = 0 D(s)=s(s+1)(s+4)+K^*=s^3+5s^2+4s+K^*=0 D(s)=s(s+1)(s+4)+K∗=s3+5s2+4s+K∗=0
令 s = j ω s={\rm j}\omega s=jω，将其代入特征方程可得：
( j ω ) 3 + 5 ( j ω ) 2 + 4 ( j ω ) + K ∗ = 0 ({\rm j}\omega)^3+5({\rm j}\omega)^2+4({\rm j}\omega)+K^*=0 (jω)3+5(jω)2+4(jω)+K∗=0
即
{ − 5 ω 2 + K ∗ = 0 − ω 3 + 4 ω = 0 ⇒ ω = ± 2 ， K ∗ = 20 ，其中： ω ≠ 0 \begin{cases} &-5\omega^2+K^*=0\\ &-\omega^3+4\omega=0 \end{cases}\Rightarrow\omega=±2，K^*=20，其中：\omega≠0 { −5ω2+K∗=0−ω3+4ω=0⇒ω=±2，K∗=20，其中：ω=0
则当 K ∗ < 20 K^*<20 K∗<20时，闭环系统稳定. -
概略根轨迹
Example 4.10
已知系统开环传递函数为： G ( s ) H ( s ) = K ∗ s 5 + s 4 + s 3 + s 2 + s + 1 G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{s^5+s^4+s^3+s^2+s+1} G(s)H(s)=s5+s4+s3+s2+s+1K∗，绘制系统的概略根轨迹图.(提示：求取开环极点时运用： s 6 − 1 = ( s − 1 ) ( s 5 + s 4 + s 3 + s 2 + s + 1 ) s^6-1=(s-1)(s^5+s^4+s^3+s^2+s+1) s6−1=(s−1)(s5+s4+s3+s2+s+1)).
解：
系统开环传递函数为：
G ( s ) H ( s ) = K ∗ s 5 + s 4 + s 3 + s 2 + s + 1 G(s)H(s)=\displaystyle\frac{K^*}{s^5+s^4+s^3+s^2+s+1} G(s)H(s)=s5+s4+s3+s2+s+1K∗
由于：
s 6 − 1 = ( s − 1 ) ( s 5 + s 4 + s 3 + s 2 + s + 1 ) = ( s 3 − 1 ) ( s 3 + 1 ) = ( s − 1 ) ( s 2 + s + 1 ) ( s + 1 ) ( s 2 − s + 1 ) \begin{aligned} s^6-1&=(s-1)(s^5+s^4+s^3+s^2+s+1)=(s^3-1)(s^3+1)\\ &=(s-1)(s^2+s+1)(s+1)(s^2-s+1) \end{aligned} s6−1=(s−1)(s5+s4+s3+s2+s+1)=(s3−1)(s3+1)=(s−1)(s2+s+1)(s+1)(s2−s+1)
故系统的开环极点为：
p 1 = − 1 ， p 2 , 3 = 0.5 ± j 0.866 ， p 4 , 5 = − 0.5 ± j 0.866 p_1=-1，p_{2,3}=0.5±{\rm j}0.866，p_{4,5}=-0.5±{\rm j}0.866 p1=−1，p2,3=0.5±j0.866，p4,5=−0.5±j0.866
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根轨迹分支、起点和终点：由于 n = 5 ， m = 0 ， n − m = 5 n=5，m=0，n-m=5 n=5，m=0，n−m=5，故根轨迹有五条分支，起点分别为： p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 p_1,p_{2},p_3,p_{4},p_5 p1,p2,p3,p4,p5，其终点分别都为无穷远处.
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根轨迹的渐近线： σ a = − 1 5 = − 0.2 ； φ a = ± π 5 ， ± 3 π 5 ， π \sigma_a=\displaystyle\frac{-1}{5}=-0.2；\varphi_a=±\displaystyle\frac{\pi}{5}，±\displaystyle\frac{3\pi}{5}，\pi σa=5−1=−0.2；φa=±5π，±53π，π；
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概略根轨迹图
