Chapter9.3：线性系统的状态空间分析与综合(下)

此系列属于胡寿松《自动控制原理题海与考研指导》(第三版)习题精选，仅包含部分经典习题，需要完整版习题答案请自行查找，本系列属于知识点巩固部分，搭配如下几个系列进行学习，可用于期末考试和考研复习。
自动控制原理(第七版)知识提炼
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自动控制原理(第七版)附录MATLAB基础

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第九章：线性系统的状态空间分析与综合

Example 9.26

判断下列系统的可控性和输出可控性。

解：

【系统1】
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ -6& -11& 6\\ -6& -11& 5\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\\ 1\end{array}\right]，C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\end{array}\right]，d=\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]$$
系统可控性矩阵为：
$$S=\left[\begin{array}{ccc}b& Ab& A^{2}b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 2& -10& 38\\ 1& -11& 49\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=2<n=3$，所以系统不可控。

系统的输出可控性矩阵为：
$$S_o=\left[\begin{array}{cccc}Cb& CAb& C{A}^{2}b& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& 2\\ 1& 1& -11& -1\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{S}_o=2=q$，所以系统输出可控。

【系统2】
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& -2& -2\end{array}\right]，B=\left[\begin{array}{cc}0& -2\\ 2& 0\\ 4& 4\end{array}\right]，c=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]，d=\left[\begin{array}{cc}1& -1\end{array}\right]$$
系统可控性矩阵为：
$$S=\left[\begin{array}{ccc}B& AB& A^{2}B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}0& -2& 2& 0& 4& 4\\ 2& 0& 4& 4& -12& -8\\ 4& 4& -12& -8& 16& 8\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=3=n$，所以系统可控。

系统的输出可控性矩阵为：
$$S_o=\left[\begin{array}{cccc}cB& cAB& c{A}^{2}B& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}4& 4& -12& -8& 16& 8& 1& -1\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{S}_o=1=q$，所以系统输出可控。

【系统3】
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 2& 3& 0\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\end{array}\right]，c=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\end{array}\right]，d=0$$
系统可控性矩阵为：
$$S=\left[\begin{array}{ccc}b& Ab& A^{2}b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 5\\ 1& 5& 7\\ 5& 7& 17\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=2<n$，所以系统不可控。

系统的输出可控性矩阵为：
$$S_o=\left[\begin{array}{cccc}cb& cAb& c{A}^{2}b& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{S}_o=0<q$，所以系统输出不可控。

【系统4】
$$A=\left[\begin{array}{ccc}5& 4& 0\\ 0& 1& 0\\ -4& 4& 1\end{array}\right]，B=0，C=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& -1\\ 1& 0& 1\\ 0& 2& 0\end{array}\right]，D=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$$
由于$B=0$，所以系统不可控。

系统的输出可控性矩阵为：
$$S_o=\left[\begin{array}{cccc}CB& CAB& C{A}^{2}B& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccccc}0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{S}_o=2<q=4$，所以系统输出不可控。

【系统5】
$$A=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ -1& -1& -2& -2& -1\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right]，C=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 0& 0\\ -2& 0& 2& 0& 0\end{array}\right]，d=0$$
系统可控性矩阵为：
$$S=\left[\begin{array}{ccccc}b& Ab& A^{2}b& A^{3}b& A^{4}b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 1& -2& 0\\ 0& 1& -2& 0& 2\\ 1& -2& 0& 2& 1\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=5=n$，所以系统可控。

系统的输出可控性矩阵为：
$$S_o=\left[\begin{array}{cccccc}Cb& CAb& C{A}^{2}b& C{A}^{3}b& C{A}^{4}b& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& -1& 2& 1& 0\\ -2& 0& 2& -4& -2& 0\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{S}_o=1<q=2$，所以系统输出不可控。

Example 9.27

确定使下列系统可控且可观测的待定常数${\alpha }_i$和${\beta }_i(i=1,2)$；

解：

【系统1】
$$A=\left[\begin{array}{cc}{\alpha }_1& 1\\ 0& {\alpha }_2\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]，c=\left[\begin{array}{cc}1& -1\end{array}\right]$$
设系统的可控性和可观测性矩阵分别为：
$$S=\left[\begin{array}{cc}b& Ab\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1+{\alpha }_1\\ 1& {\alpha }_2\end{array}\right]，V=\left[\begin{array}{cc}{c}^T& A^T{c}^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& {\alpha }_1\\ -1& 1-{\alpha }_2\end{array}\right]$$
若系统可控可观测，则要求$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}V=2=n，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=2=n$，即$\det V\ne 0，\det S\ne 0$，则应有${\alpha }_2\ne 1+{\alpha }_1$.

【系统2】
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 2\\ 1& 0& -3\\ 0& 1& -4\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}1\\ {\beta }_1\\ {\beta }_2\end{array}\right]，c=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]$$
设系统的可控性和可观测性矩阵分别为：
$$\begin{array}{rl}& S=\left[\begin{array}{ccc}b& Ab& A^{2}b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2{\beta }_2& 2{\beta }_1-8{\beta }_2\\ {\beta }_1& 1-3{\beta }_2& -3{\beta }_1+14{\beta }_2\\ {\beta }_2& {\beta }_1-4{\beta }_2& 1-4{\beta }_1+13{\beta }_2\end{array}\right]\\ & \\ & V=\left[\begin{array}{ccc}{c}^T& A^T{c}^T& (A^2{)}^T{c}^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 2\\ 0& 2& -8\end{array}\right]\end{array}$$
若系统可控可观测，则必须要求$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}V=3=n，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=3=n$，即$\det V\ne 0，\det S\ne 0$.显然，由于$\det V=-4\ne 0$成立，则该系统必然可观测。

故只需要求$1-4{\beta }_1+10{\beta }_2-18{\beta }_1{\beta }_2+25{\beta }_2^2+6{\beta }_1{\beta }_2^2-8{\beta }_1^2{\beta }_2+4{\beta }_2^3+2{\beta }_1^3+3{\beta }_1^2\ne 0$即可。

Example 9.28

线性定常离散系统的动态方程为：
$$x(k+1)=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ -1& -2& 0\\ 0& 1& 2\end{array}\right]x(k)+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u(k)，y(k)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]x(k)$$
判别系统的可控性和可观测性。

解：

设系统可控性矩阵为$S$，则
$$S=\left[\begin{array}{ccc}h& Gh& G^{2}h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& 4\end{array}\right]，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=1<3=n$$
故系统不可控。

设系统的可观测性矩阵为$V$，则
$$V=\left[\begin{array}{ccc}{C}^T& G^T{C}^T& (G^2{)}^T{C}^T\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}1& 0& 1& 0& 4& 0\\ 0& 1& 2& 0& 8& 0\\ 1& 0& 4& 0& 16& 0\end{array}\right]，\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}V=3=n$$
故系统可观测。

Example 9.29

设有连续时间系统$(A,b,c)$，其中：
$$A=\left[\begin{array}{cc}0& \pi \\ -\pi & 0\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]，c=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]$$
要求：

1. 判断系统的可控性、可观测性和输出可控性；
2. 以采样周期$T=1$将系统离散化，并判断离散化系统的可控性、可观测性和输出可控性；
3. 以采样周期$T=2$将系统离散化，并判断离散化系统的可控性、可观测性和输出可控性；

解：

1. 判断系统的可控性、可观测性和输出可控性。

   判断系统可控性：
   $$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{cc}b& Ab\end{array}\right]=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{cc}0& \pi \\ 1& 0\end{array}\right]=2=n$$
   因此，系统可控。

   判断系统可观测性：
   $$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}V=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{c}c\\ cA\end{array}\right]=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -2\pi & \pi \end{array}\right]=2=n$$
   因此，系统可观测。

   判断系统输出可控性：
   $$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{S}_o=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{ccc}cb& cAb& c{A}^{2}b\end{array}\right]=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{ccc}2& \pi & 0\end{array}\right]=1=q$$
   因此，系统输出可控。

2. $T=1$离散化。

   设系统离散化后状态方程为：$x(k+1)=G(T)x(k)+h(T)u(k)$，式中$G(T)，h(T)$与连续系统的状态转移矩阵的关系：
   $$G(T)={\Phi (t)|}_{t=T}，h(T)={\int }_0^T\Phi (\tau )b\mathrm{d}\tau$$

   $$\Phi (t)=L^{-1}[(sI-A{)}^{-1}]=\left[\begin{array}{cc}\cos \pi t& \sin \pi t\\ -\sin \pi t& \cos \pi t\end{array}\right]$$

   当$T=1$时，
   $$G(T)={\Phi (t)|}_{t=T}=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]，h(T)={\int }_0^T\Phi (\tau )b\mathrm{d}\tau =\left[\begin{array}{c}\frac{2}{\pi }\\ 0\end{array}\right]，c=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]$$
   离散系统的可控性：
   $$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{cc}h& Gh\end{array}\right]=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{cc}\frac{2}{\pi }& -\frac{2}{\pi }\\ 0& 0\end{array}\right]=1<2=n$$
   因此，离散系统不可控。

   系统的可观测性：
   $$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}V=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{c}c\\ cG\end{array}\right]=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -2\end{array}\right]=1<2=n$$
   因此，离散系统不可观测。

   系统的输出可控性：
   $$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{S}_o=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{ccc}ch& cGh& d\end{array}\right]=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{ccc}\frac{2}{\pi }& -\frac{2}{\pi }& 0\end{array}\right]=1=q$$
   因此，离散系统输出可控。

3. $T=2$离散化。

   设系统离散化后状态方程为：$x(k+1)=G(T)x(k)+h(T)u(k)$，式中$G(T)，h(T)$与连续系统的状态转移矩阵的关系：
   $$G(T)={\Phi (t)|}_{t=T}，h(T)={\int }_0^T\Phi (\tau )b\mathrm{d}\tau$$

   $$\Phi (t)=L^{-1}[(sI-A{)}^{-1}]=\left[\begin{array}{cc}\cos \pi t& \sin \pi t\\ -\sin \pi t& \cos \pi t\end{array}\right]$$

   当$T=2$时，
   $$G(T)={\Phi (t)|}_{t=T}=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]，h(T)={\int }_0^T\Phi (\tau )b\mathrm{d}\tau =\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]，c=\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]$$
   离散系统的可控性：
   $$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{cc}h& Gh\end{array}\right]=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=0<2=n$$
   因此，离散系统不可控。

   系统的可观测性：
   $$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}V=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{c}c\\ cG\end{array}\right]=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right]=1<2=n$$
   因此，离散系统不可观测。

   系统的输出可控性：
   $$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}{S}_o=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{ccc}ch& cGh& d\end{array}\right]=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]=0<1=q$$
   因此，离散系统输出不可控。

Example 9.30

已知连续系统$(A,b,c)$为如下几个不同系统，如有可能，将系统化为可控标准型，并求出相应的基底变换矩阵。

解：

【系统1】
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& -1& 1\\ 0& 2& 0\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}2\\ 1\\ 1\end{array}\right]，c=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]$$
取$x=P\overline{x}$，其中$P$为将非标准型化为可控标准型的变换矩阵。

可控性矩阵为：
$$S=\left[\begin{array}{ccc}b& Ab& A^{2}b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2& 4& 16\\ 1& 6& 8\\ 1& 2& 12\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=3=n$，故系统完全可控。

可控性矩阵的逆阵：
$$S^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1.75& -0.5& -2\\ -0.125& 0.25& 0\\ -0.125& 0& 0.25\end{array}\right]$$
取$S^{-1}$最后一行构成行向量$p_1=\left[\begin{array}{ccc}-0.125& 0& 0.25\end{array}\right]$，构成$P^{-1}$阵：
$$P^{-1}=\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_{1}A\\ p_1{A}^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-0.125& 0& 0.25\\ -0.125& 0.25& 0\\ 0.625& -0.5& 0.25\end{array}\right]$$
可得变换阵为：
$$P=\left[\begin{array}{ccc}-2& 4& 2\\ -1& 6& 1\\ 3& 2& 1\end{array}\right]$$
则系统可控标准型为：
$$\dot{\overline{x}}=P^{-1}AP\overline{x}+P^{-1}bu=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 9& 0\end{array}\right]\overline{x}+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u，y=cP\overline{x}=\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 1\end{array}\right]\overline{x}$$
【系统2】
$$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 0& 9\\ 0& 1& 0\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right]，c=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]$$
取$x=P\overline{x}$，其中$P$为将非标准型化为可控标准型的变换矩阵。

可控性矩阵为：
$$S=\left[\begin{array}{ccc}b& Ab& A^{2}b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-3& -2& -4\\ 2& 6& 16\\ 1& 2& 6\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=3=n$，故系统完全可控。

可控性矩阵的逆阵：
$$S^{-1}=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}-2& -2& 4\\ -2& 7& -20\\ 1& -2& 7\end{array}\right]$$
取$S^{-1}$最后一行构成行向量$p_1=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 7\end{array}\right]$，构成$P^{-1}$阵：
$$P^{-1}=\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_{1}A\\ p_1{A}^2\end{array}\right]=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{ccc}1& -2& 7\\ -2& 7& -20\\ 7& -20& 67\end{array}\right]$$
可得变换阵为：
$$P=\left[\begin{array}{ccc}23& -2& -3\\ -2& 6& 2\\ -3& 2& 1\end{array}\right]$$
则系统可控标准型为：
$$\dot{\overline{x}}=P^{-1}AP\overline{x}+P^{-1}bu=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ -2& 9& 0\end{array}\right]\overline{x}+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u，y=cP\overline{x}=\left[\begin{array}{ccc}-3& 2& 1\end{array}\right]\overline{x}$$
【系统3】
$$A=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]，b=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 1\end{array}\right]，c=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$$
取$x=P\overline{x}$，其中$P$为将非标准型化为可控标准型的变换矩阵。

可控性矩阵为：
$$S=\left[\begin{array}{ccc}b& Ab& A^{2}b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 1& 1\\ 1& 2& 4\end{array}\right]$$
由于$\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}S=3=n$，故系统完全可控。

可控性矩阵的逆阵：
$$S^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}-2& 0& 1\\ 3& 2& -2\\ -1& -1& 1\end{array}\right]$$
取$S^{-1}$最后一行构成行向量$p_1=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\end{array}\right]$，构成$P^{-1}$阵：
$$P^{-1}=\left[\begin{array}{c}{p}_1\\ p_{1}A\\ p_1{A}^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1& -1& 1\\ -1& -2& 2\\ -1& -3& 4\end{array}\right]$$
可得变换阵为：
$$P=\left[\begin{array}{ccc}-2& 1& 0\\ 2& -3& 1\\ 1& -2& 1\end{array}\right]$$
则系统可控标准型为：
$$\dot{\overline{x}}=P^{-1}AP\overline{x}+P^{-1}bu=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 2& -5& 4\end{array}\right]\overline{x}+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]u，y=cP\overline{x}=\left[\begin{array}{ccc}5& -11& 5\end{array}\right]\overline{x}$$