指数信号与正弦信号

编程语言 2023-04-05 17:04:35 阅读次数: 0

连续时间复指数

周期复指数信号： $x(t)=Ce^{j\omega_{0}t}$

所有x(t)都满足x(t)=x(t+T)， $Ce^{j\omega_{0}t}$ 是周期信号，周期为 $T=2\pi /\omega_{0}$ 。

对于一般的复指数信号： $x(t)=Ce^{j\omega_{0}t}$ ，其中 $C=\alpha+j \beta =\left | C \right |e^{j\theta }$ ，而 $\alpha =r+j\omega _{0}$

所以 $x(t)=\left |C \right |e^{j\theta }e^{rt}e^{j\omega _{0}t}=\left |C \right |e^{rt}e^{j(\omega _{0}t+\theta) }$

一般的复指数信号，可以将它看成是实指数信号 $e^{rt}$ 和周期复指数信号 $e^{j\omega_{0}t}$ 相乘的结果； $\omega _{0}$ 反映了振荡信号的变化频率；r反映了振荡信号峰值的变化趋势。

若r>0，幅度增长的正弦信号，若r<0，幅度衰减的正弦信号。

假如 $x_{1}(t)+x_{2}(t)$ ， $T_{1}/T_{2}$ 为有理数， $T_{0}=LCM(T_{1}+T_{2})$

若 $T_{1}/T_{2}$ 为无理数，该信号不是周期信号

离散时间复指数

离散时间复指数信号的周期性

$\frac{2\pi}{\omega _{0}}=N$ 为整数，则周期为N。

$\frac{2\pi}{\omega _{0}}=\frac{N}{K}$ 为有理数，则周期为N。

$\frac{2\pi}{\omega _{0}}$ 为无理数，则不是周期信号

正弦信号

正弦信号，根据欧拉公式

$e^{j\omega_{0}t}=cos\omega_{0}t+jsin\omega_{0}t$

$e^{-j\omega_{0}t}=cos\omega_{0}t-jsin\omega_{0}t$

可得： $cos\omega_{0}t=\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}$

$sin\omega_{0}t=\frac{e^{j\omega_{0} t}-e^{-j\omega_{0} t}}{2j}$

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转载自blog.csdn.net/m0_62919535/article/details/129257213

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