对信号进行卷及分解

01 信号卷及分解

一、习题内容

在第四次作业中有一道习题，是将给定的一个梯形信号解成两个矩形信号的卷积。为了双车分解的结果唯一，这里限定了两个矩形信号的高度相同。分解信号是信号分析中的重要内容。下面让我们讨论一下这个题目的求解。
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二、矩形卷积

如果两个矩形信号卷积，结果呈现的波形通常情况下是一个梯形。下面看一下这个梯形与两个矩形信号之间的关系。这里的演示的两个矩形信号长度分别是 3 和 1.5。卷积结果的宽度等于这它们长度之和。在梯形上升和下降沿的宽度，等于较短矩形的宽度。如果两个矩形信号的宽度相同，卷积结果则呈现我对称三角信号。

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#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
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# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2023-04-02
#
# Note:
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from headm import *
from tsmodule.tsdraw        import *
def G(t, startn, endn):
    return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
def Gt(t, center, width):
    startn = center-width/2
    endn = startn + width
    return heaviside(t-startn,0.5)-heaviside(t-endn,0.5)
startt = -2
endt = 8
num = 10000
t = linspace(startt, endt, 10000)
ratio = (endt - startt)/num
f1 = G(t,0,1.5)
f2 = G(t,0,3)
pltgif = PlotGIF()
ddim = linspace(-1.5, 7, 150)
rdim = []
for d in ddim:
    f1 = G(t, -1.5+d, d)
    res = dot(f1,f2)*ratio
    rdim.append(res)
    plt.clf()
    plt.plot(ddim[:len(rdim)], rdim, lw=4, label='f1*f2')
    plt.plot(t, f1, lw=2, label='f1(t-tao)')
    plt.plot(t, f2, lw=2, label='f2(tao)')
    plt.xlabel("t")
    plt.ylabel("f(t)")
    plt.grid(True)
    plt.legend(loc="upper right")
    plt.axis([min(t)-0.5, max(t)+0.5, -1,2])
    plt.tight_layout()
    plt.draw()
    plt.pause(.01)
    pltgif.append(plt)
pltgif.save()
#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
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反过来，如果已知两个矩形信号的结果。确定结果的长度为A，利用上升沿的宽度可以确定短的矩形信号长度也是B。那么对于另外一个矩形信号来说，它的长度就是 A 减去 B。下面再考虑信号的高度，卷积结果梯形信号的高度，应该等于两个矩形信号的高度的乘积，再乘以窄的矩形信号的长度。这是在卷积过程中两个矩形信号中心重合时对应的乘积积分的结果。如果强制要求两个矩形信号的高度相同，那么梯形高度等于矩形高度的平方，乘以短矩形信号的宽度。

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三、习题求解

根据前面的分析，再对习题波形进行分解。根据梯形的上升沿的宽度为1，可以知道参与卷积的一个矩形的宽度为 1，再根据信号总宽度为4，可以知道另外一个矩形信号的宽度为 3。题目中要求两个信号的高度相同，假设为 D。再根据梯形的高度为 3，可以得到这个等式。通过求解可以得到矩形高度 D 等于 3 的平方根。下面绘制出习题答案对应的方波信号波形，是两个宽度分别为 1 和 3，高度为根号 3 的窗口信号。这是本题的答案。
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