卡尔曼滤波 KF | 扩展卡尔曼滤波 EKF （思路流程和计算公式）

前言

本文分析卡尔曼滤波和扩展卡尔曼滤波，包括：思路流程、计算公式、简单案例等。滤波算法，在很多场景都有应用，感觉理解其思路和计算过程比较重要。

一、卡尔曼滤波

一、卡尔曼滤波

卡尔曼滤波思想由 kalman于 1960 年提出，该方法：

假设状态噪声与观测噪声符合高斯分布；

通过观测数据 对 状态量 进行最优估计。

其实质是计算最大后验概率问题，只能应用于线性系统。

1.1 KF计算公式

卡尔曼滤波法的核心问题是：如何建立滤波所需的状态方程和观测方程。在实际工作过程中，卡尔曼滤波法将为系统提供最优估计，其前提是系统应具备线性模型，使用卡尔曼滤波法可以简化计算量，并且节数据存储。

在定义系统的状态方程和观测方程分别如下：

第一条公式：定义 k-1 时刻的状态为 $x_{k-1}$ ，其对应的协方差为 $\hat{P}_{k-1}$ 。k时刻（当前时刻）的状态为 $x_{k}$ ；思路：先用上一时刻的状态，来预估当前时刻的状态 $x_{k}$ 。

第二条公式：定义 $z_{k}$ 为当前时刻的观测值。思路：通过预估当前时刻的状态 $x_{k}$ 和观测变量 $v$ ，来计算观察值

1.2 KF迭代过程

（1）预测：

（2）更新：

首先更新卡尔曼增益 K：

然后基于卡尔曼增益 K再更新更新后验概率分布（即：状态值、协方差）

1.3 KF使用说明

卡尔曼滤波仅适用于线性高斯系统，目前大多数情况下机器人所涉及的状态估计是非线性的，卡尔曼滤波的结果并不可靠。

针对卡尔曼滤波的缺陷，学者们提出了许多改进方法，如扩展卡尔曼滤波（EKF）、无损卡尔曼滤波（UKF）、压缩扩展卡尔曼滤波（CEKF）……。

二、卡尔曼滤波案例——多目标跟踪

多目标跟踪算法的经典算法DeepSort，它是一个两阶段的算法，达到实时跟踪效果，曾被应用于工业开发。

核心思想：使用递归的卡尔曼滤波和逐帧的匈牙利数据关联。

假定跟踪场景是定义在 8 维状态空间（u, v, γ, h, ẋ, ẏ, γ̇, ḣ）中，边框中心（u, v），宽高比 γ，高度 h 和和它们各自在图像坐标系中的速度。

这里依旧使用的是匀速运动模型，并把（u，v，γ，h）作为对象状态的直接观测量。

在目标跟踪中，需要估计目标的以下两个状态：

•均值(Mean)：包含目标的位置和速度信息，由 8 维向量（u, v, γ, h, ẋ, ẏ, γ̇, ḣ）表示，其中每个速度值初始化为 0。均值 Mean 可以通过观测矩阵 H 投影到测量空间输出（u，v，γ，h）。

•协方差(Covariance)：表示估计状态的不确定性，由 8x8 的对角矩阵表示，矩阵中数字越大则表明不确定性越大。

2.1 卡尔曼滤波器——预测阶段

•step1：首先利用上一时刻 k-1 的后验估计值，通过状态转移矩阵 F 变换，得到当前时刻 k 的先验估计状态

其中，状态转移矩阵 F如下：

•step2：然后使用上一时刻 k-1 的后验估计协方差来计算当前时刻 k 的先验估计协方差

通过上一时刻的后验估计均值和方差 估计 当前时刻的先验估计均值x和协方差P

实现代码如下：

def predict(self, mean, covariance):
    # mean, covariance 相当于上一时刻的后验估计均值和协方差
    
    std_pos = [
        self._std_weight_position * mean[3],
        self._std_weight_position * mean[3],
        1e-2,
        self._std_weight_position * mean[3]]
    std_vel = [
        self._std_weight_velocity * mean[3],
        self._std_weight_velocity * mean[3],
        1e-5,
        self._std_weight_velocity * mean[3]]

    # 初始化噪声矩阵 Q
    motion_cov = np.diag(np.square(np.r_[std_pos, std_vel]))

    # x' = Fx
    mean = np.dot(self._motion_mat, mean)

    # P' = FPF^T + Q
    covariance = np.linalg.multi_dot((
        self._motion_mat, covariance, self._motion_mat.T)) + motion_cov
    
    # 返回当前时刻的先验估计均值 x 和协方差 P
    return mean, covariance

2.2 卡尔曼滤波器——更新阶段

step1：首先利用先验估计协方差矩阵 P 和观测矩阵 H 以及测量状态协方差矩阵 R 计算出卡尔曼增益矩阵 K

step2：然后将卡尔曼滤波器的先验估计值 x 通过观测矩阵 H 投影到测量空间，并计算出与测量值 z 的残差 y

step3：将卡尔曼滤波器的预测值和测量值按照卡尔曼增益的比例相融合，得到后验估计值 x

step4：计算出卡尔曼滤波器的后验估计协方差

卡尔曼滤波器更新阶段，代码实现：

def update(self, mean, covariance, measurement):

    # 将先验估计的均值和协方差映射到检测空间，得到 Hx' 和 HP'
    projected_mean, projected_cov = self.project(mean, covariance)

    chol_factor, lower = scipy.linalg.cho_factor(
        projected_cov, lower=True, check_finite=False)

    # 计算卡尔曼增益 K
    kalman_gain = scipy.linalg.cho_solve(
        (chol_factor, lower), np.dot(covariance, self._update_mat.T).T,
        check_finite=False).T

    # y = z - Hx'
    innovation = measurement - projected_mean

    # x = x' + Ky
    new_mean = mean + np.dot(innovation, kalman_gain.T)

    # P = (I - KH)P'
    new_covariance = covariance - np.linalg.multi_dot((
        kalman_gain, projected_cov, kalman_gain.T))

    # 返回当前时刻的后验估计均值 x 和协方差 P
    return new_mean, new_covariance

总结一下：

在目标跟踪中，需要估计目标的以下两个状态：

•协方差(Covariance)：表示估计状态的不确定性，由 8x8 的对角矩阵表示，矩阵中数字越大则表明不确定性越大。

predict 阶段和 update 阶段都是为了计算出卡尔曼滤波的估计均值 x 和协方差 P，不同的是前者是基于上一历史状态做出的先验估计，而后者则是融合了测量值信息并作出校正的后验估计。

详细参考：多目标跟踪算法 | DeepSort_一颗小树x的博客-CSDN博客_deepsort