目录
2.7 圆周卷积（circular convolution）
| Table of Contents |
| - 数字信号及其基本运算 -1. 数字信号 - 1.1 信号定义 - 连续时间信号 - 离散时间信号 - 数字信号 - 1.2 模拟信号到数字信号： - 2. 数字信号的基本运算 - 2.1 移位运算 - 2.2 翻折 - 2.3 和、积、累加、差分 - 2.4 尺度变换 - 抽取（x(2n)）： - 插值（x(n)）： - 2.5 线性卷积 - 卷积后的长度 - 2.6 线性卷积的另一种理解 - 线性时不变系统 - 线性定义 - 线性卷积的应用： - 通常进行周期拓展后再进行移位 - 双括号表示周期拓展 - 公式： - 为什么需要RN（n）？ - 线性移位和圆周移位简单对比 - 2.7 圆周卷积（circular convolution） - 公式： - 简化的说，时域上的圆周卷积等于频域上的乘积 - 指定卷积点数N - 2.8 圆周卷积和线性卷积的关系： - 关系： - 为什么是后N1-N2+1 个点的结果一致？ - 2.9 相关运算： - 线性相关： - 圆周相关： - 互功率谱 - 线性相关与圆周相关的关系： |
1. 数字信号
1.1 信号定义
分为 连续时间信号、离散时间信号、数字信号 分布的定义
连续时间信号
时间连续，信号幅度可以是连续（模拟信号）可以是离散
离散时间信号
时间离散，但信号幅度仍然离散
数字信号
时间离散，信号幅度被量化的信号
1.2 模拟信号到数字信号：
pcm与wav
采样从连续时间变离散时间，对连续幅度量化离散
2. 数字信号的基本运算
2.1 移位运算
x(n-1) 表示 x（n）整体向右移一位后序列（延时）
2.2 翻折
x（-n）由x（n）依
n=0 为对称轴进行翻折
2.3 和、积、累加、差分
2.4 尺度变换
抽取（x(2n)）：
比如x（2n）是x（n）的粗粒度的放缩。 比如16k变8k
插值（x(n)）：
比如x（n/2）是x（n）的细粒度的放缩，比如16k变32k
2.5 线性卷积
（模拟滑块计算）
卷积后的长度
（N1 + N2 - 1）
实际计算可以理解成，把固定的线性时不变响应函数h(n) 当作滑块，从左往右划过x（n），y（n）即为滑倒谁时的取值总和。
2.6 线性卷积的另一种理解
线性卷积实质上是一个信号在另一个信号上的加权叠加
两个信号A、B卷积，等效于A（B）与B（A）拆分后的子信号进行卷积
拆分后的子信号如上图x（1），x（2），x（3 ），计算每个子信号和h（n）卷积。
线性时不变系统
线性定义
上述可高度抽象成 一个x（n）作用在一个线性时不变系统 输出y（n）
线性是指满足 齐次和可加
时不变又称“移不变”，即系统的响应函数h（n）与施加激励x（n）的时刻无关， 如上图当输入x（n）移位变为x（n-m），输出从y（n）变为y（n-m）。
对于线性时不变系统，如果已知系统的单位冲击响应，那么将单位冲激响应与输入信号求卷积，就得到了输出信号。
线性卷积的应用：
模拟远场数据，通过近场数据 加上房间冲击响应函数 模拟远场数据（比如加混响）是常见的数据仿真手段。
加混响本质上是线性卷积的操作。
2.7 圆周移位（circular shift）
通常进行周期拓展后再进行移位
双括号表示周期拓展
公式：
如下图，双括号（（））N表示周期拓展
RN（n）其实就是表示一个矩形框，公式如上。
为什么需要RN（n）？
答：因为经过周期延拓后，需要取固定区间的值比如【0，N-1】进行研究，所以需要一个取主值的矩形框。
线性移位和圆周移位简单对比
答：比如移位一个单位后，线性移位则是最左边的数去掉了，圆周移位类似圆，此时最右边的数则是最左边的数。
2.7 圆周卷积（circular convolution）
公式：
如上图，两个信号序列DFT后在频域上的乘积等于在时域上的圆周卷积。
简化的说，时域上的圆周卷积等于频域上的乘积
由于时域上进行卷积的时候，需要进行翻折、移位、相乘、相加等操作，复杂度较高，所以往往通过变换到频域相乘来操作，在频域上操作更快速高效。
通过傅立叶变换等快速算法FFT进行操作。
指定卷积点数N
圆周卷积和线性卷积相比多了一个周期延拓和取主值操作，所以做圆周卷积需要指定N，即圆周卷积的点数。
2.8 圆周卷积和线性卷积的关系：
关系：
为什么是后 N1-N2+1 个点的结果一致？
答：因为N1大于N2， 当N2滑动从左往右进入，没有完全跟N1重合，对于未重合部分，圆周卷积的值由于进行了周期延拓，所以大于线性卷积。当N2开始跟N1重合，从开始到结束的 N1 - N2 + 1个点全部为有效值，结果一致。
2.9 相关运算：
线性相关：
如公式，线性相关没有取负（少了翻折操作），都有移动、相加、相乘。
线性相关是不满足交换律。 x（n）*y（n-m）不等于y（n）*x（n-m）。因为对y（n）进行了移位，但换完位置，应该是对x移位。
圆周相关：
X（k）与Y*（K）的共轭相乘后的结果，表示互功率谱。
如上图，Rxy（K）的逆变换表示关于x（n）与y （n）的圆周相关函数。
互功率谱
X（k）与Y*（K）的共轭相乘后的结果，表示互功率谱
线性相关与圆周相关的关系：
