简介
Z-Score标准化是数据处理的一种常用方法。通过它能够将不同量级的数据转化为统一量度的Z-Score分值进行比较。
一句话解释版本：
Z-Score通过（x-μ）/σ将两组或多组数据转化为无单位的Z-Score分值，使得数据标准统一化，提高了数据可比性，削弱了数据解释性。
数据分析与挖掘体系位置
Z-Score标准化是数据处理的方法之一。在数据标准化中，常见的方法有如下三种：
- Z-Score 标准化
- 最大最小标准化
- 小数定标法
本篇主要介绍第一种数据标准化的方法，Z-Score标准化。
此方法在整个数据分析与挖掘体系中的位置如下图所示。
Z-Score的定义
Z-Score处理方法处于整个框架中的数据准备阶段。也就是说，在源数据通过网络爬虫、接口或其他方式进入数据库中后，下一步就要进行的数据预处理阶段中的重要步骤。
数据分析与挖掘中，很多方法需要样本符合一定的标准，如果需要分析的诸多自变量不是同一个量级，就会给分析工作造成困难，甚至影响后期建模的精准度。
举例来说，假设我们要比较A与B的考试成绩，A的考卷满分是100分（及格60分），B的考卷满分是700分（及格420分）。很显然，A考出的70分与B考出的70分代表着完全不同的意义。但是从数值来讲，A与B在数据表中都是用数字70代表各自的成绩。
那么如何能够用一个同等的标准来比较A与B的成绩呢？Z-Score就可以解决这一问题。
下图描述了Z-Score的定义以及各种特征。
Z-Score的目的
如上图所示，Z-Score的主要目的就是将不同量级的数据统一转化为同一个量级，统一用计算出的Z-Score值衡量，以保证数据之间的可比性。
Z-Score的理解与计算
在对数据进行Z-Score标准化之前，我们需要得到如下信息：
1）总体数据的均值（μ）
在上面的例子中，总体可以是整个班级的平均分，也可以是全市、全国的平均分。
2）总体数据的标准差（σ）
这个总体要与1）中的总体在同一个量级。
3）个体的观测值（x）
在上面的例子中，即A与B各自的成绩。
通过将以上三个值代入Z-Score的公式，即：
我们就能够将不同的数据转换到相同的量级上，实现标准化。
重新回到前面的例子，假设：A班级的平均分是80，标准差是10，A考了90分；B班的平均分是400，标准差是100，B考了600分。
通过上面的公式，我们可以计算得出，A的Z-Score是1（（90-80）/10），B的Z-Socre是2（（600-400）/100）。因此B的成绩更为优异。
反之，若A考了60分，B考了300分，A的Z-Score是-2，B的Z-Score是-1。因此A的成绩更差。
因此，可以看出来，通过Z-Score可以有效的把数据转换为统一的标准，但是需要注意，并进行比较。Z-Score本身没有实际意义，它的现实意义需要在比较中得以实现，这也是Z-Score的缺点之一。
Z-Score的优缺点
Z-Score最大的优点就是简单，容易计算，在R中，不需要加载包，仅仅凭借最简单的数学公式就能够计算出Z-Score并进行比较。此外，Z-Score能够应用于数值型的数据，并且不受数据量级的影响，因为它本身的作用就是消除量级给分析带来的不便。
但是Z-Score应用也有风险。首先，估算Z-Score需要总体的平均值与方差，但是这一值在真实的分析与挖掘中很难得到，大多数情况下是用样本的均值与标准差替代。其次，Z-Score对于数据的分布有一定的要求，正态分布是最有利于Z-Score计算的。最后，Z-Score消除了数据具有的实际意义，A的Z-Score与B的Z-Score与他们各自的分数不再有关系，因此Z-Score的结果只能用于比较数据间的结果，数据的真实意义还需要还原原值。
Z-Score在R中的实现
如下例子是我用R软件写出的Z-Score计算方法。
# define dataset data_A <- rnorm(100, 80, 10) # randomly create population dataset data_B <- rnorm(100, 400, 100) # randomly create population dataset hist(data_A) #histogram hist(data_B) #histogram #Calculate population mean and standard deviation A_data_std <- sd(data_A)*sqrt((length(data_A)-1)/(length(data_A))) A_data_mean <- mean(data_A) B_data_std <- sd(data_B)*sqrt((length(data_B)-1)/(length(data_B))) B_data_mean <- mean(data_B) # Provided that A got 92 and B got 610 A_obs <- 92 B_obs <- 610 A_Z_score <- (A_obs - A_data_mean) / A_data_std B_Z_score <- (B_obs - B_data_mean) / B_data_std