1、位运算基础
（1）概述：
原码：补码：反码：反码等于补码减1；
按位与（&）、按位或（| ）、按位异或（^）、取反（~）、左移（<<）、右移（>>），只能用于整型操作数，即用于带符号或无符号的 char、short、int 与 long 类型。
（2）按位与
0&0=0; 0&1=0; 1&0=0; 1&1=1，负数按补码形式参加按位与运算；都真为1
应用例子：
判断奇偶：if((n&1) ＝＝ 0)
取出一个数中指定位：111 & 011 取第2、3位；
清零：和0按位与；
（3）按位或
0|0=0； 0|1=1；1|0=1；1|1=1； 有1出1；
（4）按位异或
0 ^ 0=0； 0 ^ 1=1； 1^ 0=1； 1^1=0；不同为1；等同于不进位的加法；
应用例子：
使特定位翻转：x=101 10，使x低2位翻转，用x^ 00011 = 101 01。
与0相异或，保留原值。
找出数组中单个数：自反性:x^ x=0，x^ 0=x 例如：数组[A B B ]，A^B ^ B = A。
无需辅助变量交换二个数：a =a ^ b; b = a ^ b; a = a ^ b;
两数求和：无进位和 与 异或运算 规律相同，进位 和 与运算 规律相同
（5）按位取反
1变为0，0变为1；
（6）按位左移
二进制位左移若干位，移动的位数由右操作数指定（非负），空出的位用0填补，溢出则舍弃该高位。
左移1位相当于该数乘以2（左移时被溢出舍弃的高位中不包含1的情况）。
（7）按位右移
各二进制位右移若干位，移动的位数由右操作数指定（非负），移到右端的低位被舍弃。对于无符号数，高位补0。对于有符号数，某些机器将对左边空出的部分用符号位（0为正数，1为负数）填补（即“算术移位”），而另一些机器则对左边空出的部分用0填补（即“逻辑移位”）。
应用例子：
俄罗斯农民加法：
A*B：快速乘(两数相乘取模，相乘超出范围时用)
int quickMulti(int A, int B) {
int ans = 0;
for ( ; B; B >>= 1) {
if (B & 1) {
ans += A;
}
A <<= 1;
}
return ans;
}
(两数相乘取模，相乘超出范围时用)
int multi_mod(int a,int b,int c) { // (a*b)%c
int ret=0;
while(b) {
if(b&1) { ret += a; if(ret >= c) ret -= c; }
a<<=1; if(a>=c) a-=c; b>>=1;
}
return ret;
}
2、位运算性质
异或性质:
交换律:a ^ b=b ^ a
结合律:(a ^ b) ^ c == a^ (b ^ c)
x ^ 0 = x ， x ^ 1 = ~x，x^ x=0
与运算：x & 0 = 0 ， x & 1 = x
3、位运算应用问题
按位与：
整数幂：判断一个数n ，是不是2的整数幂。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ int n;
cin>>n;
if(n&(n-1))cout<<"NO";
else cout<<"Yes";
}
计算一个数的二进制中1的个数。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ int n = 0,num;
unsigned int flag = 1;
cin>>num;
while(flag)
{ if(num & flag) n++;
flag = flag << 1;
}
cout<<n;
}
1的个数：
一个整数减一，可以得到该整数的最右边的1变为0，这个1右边的0变为1。对这个整数和整数减一进行与运算，将该整数的最右边的1变为0，其余位保持不变。直到该整数变为0，进行的与运算的次数即为整数中1的个数。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ int n = 0,num;
unsigned int flag = 1;
cin>>num;
while(num)
{ num = num & (num - 1);
n++;
}
cout<<n;
}
按位异或：
1、给出 n 个整数，n 为奇数，其中有且仅有一个数出现了奇数次，其余的数都出现了偶数次。用线性时间复杂度、常数空间复杂度找出出现了奇数次的那个数。
【输入样例】
9
3 3 7 2 4 2 5 5 4
【输出样例】
7
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ int i,n,m,a;
cin>>n;
cin>>a;
for(int i = 2; i <= n; i++)
{cin>>m; a^=m; }
cout<<a<<endl;
}
2、1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现
一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空
间，能否设计一个算法实现？
解法一、显然已经有人提出了一个比较精彩的解法，将所有数加起来，减去1+2+…+1000的和。
这个算法已经足够完美了，相信出题者的标准答案也就是这个算法，唯一的问题是，如果数列过大，则可能会导致溢出。
解法二、异或就没有这个问题，并且性能更好。
将所有的数全部异或，得到的结果与123…1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{ int i,n,a[11]={1,2,5,3,4,5,6,7,8,9,10};
n=a[0]^a[1];
for(i=2;i<=10;i++)n=n^a[i];
for(i=1;i<=10;i++)n=n^i;
cout<<n;
}
3、一系列数中,除两个数外其他数字都出现过两次,求这两个数字,并且按照从小到大的顺序输出.例如 2 2 1 1 3 4.最后输出的就是3 和4。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000];
int main()
{ int n;
scanf("%d", &n);
int x = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++) { scanf("%d", &a[i]); x ^= a[i]; }
int num1 = 0, num2 = 0;
int tmp = 1;
while(!(tmp & x)) tmp <<= 1;
cout<<tmp<<endl;
for(int i = 1; i <= n; i++) {
if(tmp & a[i]) num1 ^= a[i];
else num2 ^= a[i];
}
printf("%d %d\n", min(num1, num2), max(num1, num2));
return 0;
}
快速幂：力扣50. Pow(x, n)
参考链接：https://blog.csdn.net/weixin_43736974/article/details/84543970
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